連立方程式形の微分方程式
次の形の微分方程式を考えよう。
$$y’=\displaystyle\frac{ax+by+c}{px+qy+r}$$
ここで \(a,b,c\) と \(p,q,r\) は定数である。
ぱっと見ると同次形の微分方程式のように思えるが, 同次形の方程式の解法に則って \(\displaystyle\frac{y}{x}\) を生成するために右辺の分母分子を \(x\) で割ってみると
$$y’=\displaystyle\frac{a+b\left(\frac{y}{x}\right)+c\left(\frac{1}{x}\right)}{p+q\left(\frac{y}{x}\right)+r\left(\frac{1}{x}\right)}$$
となり \(u=\displaystyle\frac{y}{x}\) として \(x\) と \(y\) をまとめることができない。
今回の微分方程式に関しては別のアプローチを仕掛ける必要がある。
解法
簡単に解き方の流れを説明する。
No.1
連立方程式 \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ax + by + c = 0 \\ px + qy +r = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}\) を解く。
No.2
No.1 にて得た連立方程式の解 \(x_p\) , \(y_p\) を用いて \(x=X+x_p\) \(y=Y+y_p\) と置き換える。
\(y_p\) は定数だから \(y’=Y’\) であることに注意して微分方程式を変形すると
$$Y’=\displaystyle\frac{a\left(X+x_p\right)+b\left(Y+y_p\right)+c}{p\left(X+x_p\right)+q\left(Y+y_p\right)+r}$$
$$Y’=\displaystyle\frac{aX+bY+\left(ax_p+by_p+c\right)}{pX+qY+\left(px_p+qy_p+r\right)}\cdot\cdot\cdot\left(A\right)$$
\(x_p\) , \(y_p\) は連立方程式 \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ax + by + c = 0 \\ px + qy +r = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}\) の解であるから
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ax_p + by_p + c = 0 \\ px_p + qy_p +r = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}\)
であるから式\(\left(A\right)\)は
$$Y’=\displaystyle\frac{aX+bY}{pX+qY}$$
と変形される。ここで右辺の分母分子を \(X\) で割ると
$$Y’=\displaystyle\frac{a+b\left(\frac{Y}{X}\right)}{p+q\left(\frac{Y}{X}\right)}$$
となり \(U=\displaystyle\frac{Y}{X}\) として \(X\) と \(Y\) をまとめることができるようになる。つまりこれ以降は同時形の微分方程式の解法を適用させて解き進めることができる。
例題
$$y’=\displaystyle\frac{x+2y-1}{2x+y+7}$$
練習問題
\(y’=\displaystyle\frac{x+y+1}{x-y-3}を解け。\)
ひとこと
連立方程式から得た解を用いて置き換えを行うことにより同次形の微分方程式に帰着させて攻略する。
質問がありましたらコメントにお願い致します。
[解答]
No.1
連立方程式 \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + 2y – 1 = 0 \\ 2x + y + 7 = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}\) を解く。
解は \(x_p=-5\), \(y_p=3\) となる。
No.2
No.1で得られた連立方程式の解 \(x_p=-5\), \(y_p=3\) を用いて
\(x=X-5\) , \(y=Y+3\) と変数変換して微分方程式に代入する。( \(y’=\left(Y+2\right)’=Y’\) に注意）
$$Y’=\displaystyle\frac{\left(X-5\right)+2\left(Y+3\right)-1}{2\left(X-5\right)+\left(Y+3\right)+7}$$
$$Y’=\displaystyle\frac{X+2Y+\left(-5+6-1\right)}{2X+Y+\left(-10+3+7\right)}$$
$$Y’=\displaystyle\frac{X+2Y}{2X+Y}$$
ここで, \(X\neq0\) のとき右辺の分母分子を\(X\) で割って
$$Y’=\displaystyle\frac{1+2\left(\frac{Y}{X}\right)}{2+\left(\frac{Y}{X}\right)}\cdot\cdot\cdot\left(A\right)$$
\(U=\displaystyle\frac{Y}{X}\) , すなわち \(Y=UX\) と置くと
$$Y’=\displaystyle\frac{dY}{dX}=X\cdot\displaystyle\frac{dU}{dX}+U=XU’+U$$
となるので , 式\(\left(A\right)\)に代入して
$$XU’+U =\displaystyle\frac{1+2U}{2+U}$$
\begin{eqnarray}XU’&=& \displaystyle\frac{1+2U}{2+U}-U \\&=&\displaystyle\frac{1+2U-2U-U^2}{2+U}\\&=&\displaystyle\frac{1-U^2}{2+U}\end{eqnarray}
すなわち \(X\displaystyle\frac{dU}{dX}=\displaystyle\frac{1-U^2}{2+U}\) であるので変数分離を施して
$$\displaystyle\frac{2+U}{1-U^2}dU=\displaystyle\frac{1}{X}dX$$
$$\int\displaystyle\frac{2+U}{1-U^2}dU=\int\displaystyle\frac{1}{X}dX\cdot\cdot\cdot\left(B\right)$$
式\(\left(B\right)\)の左辺の積分について
\begin{eqnarray}\int\displaystyle\frac{2+U}{1-U^2}dU&=&\int\left(\displaystyle\frac{\frac{3}{2}}{1-U}+\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{1+U}\right)dU\\&=&\int\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{3}{1-U}+\displaystyle\frac{1}{1+U}\right)dU\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\{-3\log{|1-U|}+\log{|1+U|}\}\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\log{\displaystyle\frac{|1+U|}{|1-U|^3}}\end{eqnarray}
よって式\(\left(B\right)\)の両辺を積分すると
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{1}{2}\log{\displaystyle\frac{|1+U|}{|1-U|^3}}&=&\log{|X|}+C_1\\&=&\log{|X|}+\log{\mathrm{e}^{C_1}}\\&=&\log{|X|\cdot\mathrm{e}^{C_1}}\\&=&\log{C’_1|X|}\left(C’_1=\mathrm{e}^{C_1}\right)\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\log{\left(\sqrt{\displaystyle\frac{|1+U|}{|1-U|^3}}\right)}&=&\log{C’_1|X|}\\\sqrt{\displaystyle\frac{|1+U|}{|1-U|^3}}&=&C’_1|X|\\\displaystyle\frac{|1+U|}{|1-U|^3}&=&C’^2_1|X|^2\\&=&C|X|^2\left(C=C’^2_1\right)\end{eqnarray}
ここで, \(U=\displaystyle\frac{Y}{X}\) を代入して
$$\displaystyle\frac{|1+\frac{Y}{X}|}{|1-\frac{Y}{X}|^3}=C|X|^2$$
左辺の分母分子に\(|X|^3\)を掛けて
$$\displaystyle\frac{|1+\frac{Y}{X}|}{|1-\frac{Y}{X}|^3}\cdot\displaystyle\frac{|X|^3}{|X|^3}=C|X|^2$$
$$\displaystyle\frac{|X|^2|X+Y|}{|X-Y|^3}=C|X|^2$$
両辺から\(|X|^2\left(\neq0\right)\)を割り算して
$$\displaystyle\frac{|X+Y|}{|X-Y|^3}=C$$
$$|X+Y|=C|X-Y|^3$$
\(x=X-5\) , \(y=Y+3\)であったので\(X=x+5\) , \(Y=y-3\) を代入して
$$|\left(x+5\right)+\left(y+3\right)|=C|\left(x+5\right)-\left(y-3\right)|^3$$
$$|x+y+8|=C|x-y+8|^3$$