2階線形微分方程式③（右辺がxの関数）

右辺が０でない2階線形微分方程式
例題
例題の解答
練習問題
ひとこと

右辺が０でない2階線形微分方程式

次の形の微分方程式を考えてみよう。

$$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f\left(x\right)$$

右辺が０のときの解法は下記事にて説明した。

2階線形微分方程式➁（右辺が０）2階線形微分方程式の特性方程式の実数解の個数に応じて3パターンの解の形がある。例題を解きながら右辺が０の時の2階線形微分方程式の解法を確認しよう。...

今回はその応用として右辺に $x$ の関数 $f(x)$ が追加されたときの解法について説明する。

例題

微分方程式 $y^{\prime\prime}-7y^{\prime}+12y=12x^2+10x$ を解け。

例題の解答

No.1　：　右辺を０として微分方程式を解く

微分方程式 $y^{\prime\prime}-7y^{\prime}+12y=12x^2+10x$ の右辺を０とした式 $$y^{\prime\prime}-7y^{\prime}+12y=0\cdot\cdot\cdot\left(A\right)$$ を解く。まず、式 $\left(A\right)$ の特性方程式を解くと $$\lambda^2-7\lambda+12=0$$ $$\left(\lambda-3\right)\left(\lambda-4\right)=0$$ $$\lambda=\begin{cases}3\\4\end{cases}$$ 従って、右辺を０とした式 $\left(A\right)$ の解 $y_0$ は定数 $C_1$、$C_2$ を用いて $$y_0=C_1\mathrm{e}^{3x}+C_2\mathrm{e}^{4x}$$ と表される。

この右辺を０に塗り替えた微分方程式の解 $y_0$ を $y^{\prime\prime}-7y^{\prime}+12y=0$ の一般解という。

No.2　:　右辺の関数の形から解となる関数を予想し代入

今回の微分方程式の右辺の関数は、2次関数 $12x^2+10x$ であるので、解となる関数を二次関数 $y=px^2+qx+r$ と予想する。

このとき、$y’=2px+q$ と $y^{\prime\prime}=2p$ を得る。

これを微分方程式 $y^{\prime\prime}-7y^{\prime}+12y=12x^2+10x$ の左辺に代入して \begin{eqnarray}(左辺)&=&y^{\prime\prime}-7y^{\prime}+12y\\\\&=&(2p)-7(2px+q)+12(px^2+qx+r)\\\\&=&(12p)x^2+(12q-14p)x+(2p-7q+12r)\end{eqnarray}

すなわち

$$(12p)x^2+(12q-14p)x+(2p-7q+12r)=12x^2+10x$$

となる。両辺の係数を比較して

$$\begin{cases}12p=12\\12q-14p=10\\2p-7p+12r=0\end{cases}$$

ここから

$$\begin{cases}p=1\\q=2\\r=1\end{cases}$$

を得る。従って、$y_p=x^2+2x+1$ は解であることがわかる。

このような右辺の関数の形から解となる関数の形を予想し、代入することで導かれる解 $y_p$ を $y^{\prime\prime}-7y^{\prime}+12y=12x^2+10x$ の特殊解という。

No.3　：　No.1で得た一般解 $y_0$とNo.2で得た特殊解 $y_p$ を合体させて真の解を導く

求める微分方程式の解 $y$ は No.1で得た一般解 $y_0$ とNo.2で得た特殊解 $y_p$ の和で得られる。

\begin{eqnarray}y&=&y_0+y_p\\\\&=&C_1\mathrm{e}^{3x}+C_2\mathrm{e}^{4x}+x^2+2x+1\end{eqnarray}

なぜ一般解と特殊解を足すのか？

最終的な微分方程式の解が一般解 $y_0$ と特殊解 $y_p$ の和で与えられる理由について説明する。

微分方程式 $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f\left(x\right)$ を考える。

右辺を０とした微分方程式 $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0$ は特性方程式を用いることで解くことができ、その解を $y_0$ とする。この $y_0$ は定数 $C_1$、$C_2$ を含んでおり微分方程式 $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0$ のすべての解を表している。このことから $y_0$ は $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by$ $=0$ の一般解と呼ぶ。

一方で、微分方程式 $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f\left(x\right)$ の右辺から関数の形を予想して得た解 $y_p$ は $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f\left(x\right)$ の一つの解に過ぎない。このことから $y_p$ は $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by$ $=f\left(x\right)$ の特殊解と呼ぶ。

最終的に求める微分方程式の解、すなわち微分方程式 $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f\left(x\right)$ の解すべてを表現できる解（一般解）を $Y$ として、$Y=y_0+y_p$ とおくと、

\begin{eqnarray}&&Y^{\prime\prime}+aY^{\prime}+bY\\\\&=&\left(y_0+y_p\right)^{\prime\prime}+a\left(y_0+y_p\right)^{\prime}+b\left(y_0+y_p\right)\\\\&=&y^{\prime\prime}_0+y^{\prime\prime}_p+ay^{\prime}_0+ay^{\prime}_p+by_0+by_p\\\\&=&\left(y^{\prime\prime}_0+ay^{\prime}_0+by_0\right)+\left(y^{\prime\prime}_p+ay^{\prime}_p+by_p\right)\end{eqnarray}

ここで、$y_0$ は $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0$ の解であり、$y_p$ は $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f\left(x\right)$ の解であるので

$$\begin{cases}y^{\prime\prime}_0+ay^{\prime}_0+by_0=0\\y^{\prime\prime}_p+ay^{\prime}_p+by_p=f\left(x\right)\end{cases}$$

が成り立つ。従って、

\begin{eqnarray}&&\left(y_0+y_p\right)^{\prime\prime}+a\left(y_0+y_p\right)^{\prime}+b\left(y_0+y_p\right)\\\\&=&\left(y^{\prime\prime}_0+ay^{\prime}_0+by_0\right)+\left(y^{\prime\prime}_p+ay^{\prime}_p+by_p\right)\\\\&=&0+f\left(x\right)\\\\&=&f\left(x\right)\end{eqnarray}

つまり、$$\left(y_0+y_p\right)^{\prime\prime}+a\left(y_0+y_p\right)^{\prime}+b\left(y_0+y_p\right)=f\left(x\right)$$ であるので、$Y=y_0+y_p$ は微分方程式 $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f\left(x\right) $ の解であり、定数 $C_1$、$C_2$を含むため微分方程式 $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=f\left(x\right)$ のすべての解を表している。このことから $y_0+y_p$ は $\left(y_0+y_p\right)^{\prime\prime}+a\left(y_0+y_p\right)^{\prime}+b\left(y_0+y_p\right)$ $=0$ の一般解と呼ぶ。