ベクトルの一次独立な最大個数の定義を説明し、ベクトルの一次独立な最大個数を行列の階数（ランク）を用いて求める方法を例題を解きながらわかりやすく説明します。
一次独立な最大個数とは？
ベクトルの集合の中に \(r\) 個の一次独立なベクトルが存在し、 その集合のどの \(r+1\) 個のベクトルも一次独立でないとき、 \(r\) をその集合における一次独立な最大個数という。
（例）\(\vec u_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)、\(\vec u_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)、\(\vec u_3=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)
\(\vec u_1\) と \(\vec u_2\) の２個は一次独立であり、
\(\vec u_1\) 、\(\vec u_2\) 、\(\vec u_3\) の３個は \(\vec u_3 = 2\vec u_1+ \vec u_2\) と書けることから一次独立でない。
よって、 ベクトルの一次独立な最大個数は２。
一次独立な最大個数を求める方法
\(n\) 個のベクトルの組 \(\vec u_1, \cdots,\vec u_n\) における一次独立な最大個数を求めるにはどうすればよいのだろうか？
\(\vec u_1, \cdots,\vec u_n\) を横に書き並べた行列 \(\begin{pmatrix}\vec u_1&\cdots&\vec u_n\end{pmatrix}\) の階数（ランク）こそが一次独立な最大個数である。
\(\mathrm{rank}\:\begin{pmatrix}\vec u_1&\cdots&\vec u_n\end{pmatrix}=\)（\(\vec u_1,\cdots,\vec u_n\) の一次独立な最大個数）
（例）\(\vec u_1=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)、\(\vec u_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)、\(\vec u_3=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\)
$$\begin{pmatrix}2 & 1 & 5\\1 & 1 & 3\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$
より簡約行列の階数が2であることから、 \(\vec u_1, \vec u_2,\vec u_3\) における一次独立な最大個数は2。
\(\vec u_1, \cdots,\vec u_n\) の一次関係は、
$$c_1\vec u_1+\cdots +c_n\vec u_n=\vec 0$$
$$\Leftrightarrow\begin{pmatrix}\vec u_1&\cdots&\vec u_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}=\vec 0$$
と変形できる。ここで、\(A=\begin{pmatrix}\vec u_1&\cdots&\vec u_n\end{pmatrix}\)、\(\vec c = \begin{pmatrix}c_1&\cdots&c_n\end{pmatrix}^{\top}\) とおくと、
$$A\vec c = \vec 0\cdot\cdot\cdot(1)$$
の同次形連立一次方程式とみなすことができる。
ここで、係数行列 \(A\) の簡約化行列を \(B=\begin{pmatrix}\vec v_1&\cdots&\vec v_n\end{pmatrix}\) とすると、
$$B\vec c = \vec 0\cdot\cdot\cdot(2)$$
は(1)式と同じ解であるから、\(\vec u_1, \cdots,\vec u_n\) と \(\vec v_1, \cdots,\vec v_n\) の一次関係は同じである。
ここで、 \(B\) には \(\mathrm{rank}\:B\) だけの一次独立なベクトルが存在する。
従って、 \(A\) にも \(\mathrm{rank}\:A\) だけの一次独立なベクトルが存在することから、一次独立な最大個数は \(\mathrm{rank}\:A\) である。
例題
次のベクトルの一次独立な最大個数を求めよ。また具体的に一次独立な一組を求め、他のベクトルをそれらの線形結合で表せ。
\(\vec u_1=\begin{pmatrix}-3\\3\\-2\end{pmatrix}\)、\(\vec u_2=\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}\)、\(\vec u_3=\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}\)、\(\vec u_4=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\)、\(\vec u_5=\begin{pmatrix}-7\\9\\4\end{pmatrix}\)
No.1：一次関係を定義する
\(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3,\vec u_4,\vec u_5\) の一次関係は、
$$c_1\vec u_1+c_2\vec u_2+c_3\vec u_3+c_4\vec u_4+c_5\vec u_5=\vec 0$$
$$\Leftrightarrow\begin{pmatrix}\vec u_1&\vec u_2&\vec u_3&\vec u_4&\vec u_5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\\c_4\\c_5\end{pmatrix}=\vec 0\cdot\cdot\cdot(*)$$
と書ける。
No.2：係数行列を定義する
\(A=\begin{pmatrix}\vec u_1&\vec u_2&\vec u_3&\vec u_4&\vec u_5\end{pmatrix}\)、\(\vec c =\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\\c_4\\c_5\end{pmatrix}\) とおくと \((*)\) 式は、
$$A\vec c=\vec 0$$
という係数行列 \(A\) の連立一次方程式に変形できる。
No.3：係数行列の簡約化を行う
係数行列 \(A\) を簡約化すると、
$$\begin{pmatrix}-3 & 3 & -2 & 1 & -7\\3 & -3 & 2 & 0 & 9 \\-2 & 2 & -1 & 1 &-4 \end{pmatrix}$$
$$\rightarrow\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & 0 & 3\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$
ここで、簡約化した行列のそれぞれの列ベクトルを
\(\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)、\(\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\)、\(\vec v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)、\(\vec v_4=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)、\(\vec v_5=\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}\)
として、
$$B=\begin{pmatrix}\vec v_1&\vec v_2&\vec v_3&\vec v_4&\vec v_5\end{pmatrix}$$
とおく。
No.4：一次関係が同じであることを示す
$$A\vec c=\vec 0\Leftrightarrow B\vec c=\vec 0$$
すなわち、
$$c_1\vec u_1+c_2\vec u_2+c_3\vec u_3+c_4\vec u_4+c_5\vec u_5=\vec 0$$
$$\Leftrightarrow c_1\vec v_1+c_2\vec v_2+c_3\vec v_3+c_4\vec v_4+c_5\vec v_5=\vec 0$$
であるから、\(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3,\vec u_4,\vec u_5\) と\(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,\vec v_4,\vec v_5\) の一次関係は同じである。
No.5：簡約行列から一次独立な最大個数を求める
$$B=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & 0 & 3\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$
から \(\mathrm{rank}\:B=3\) となるので、一次独立な最大個数は3。
No.6：簡約行列の基本ベクトルを取り出す
\(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,\vec v_4,\vec v_5\) の内、
\(\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)、\(\vec v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)、\(\vec v_4=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)
の3つのベクトルは基本ベクトルであり一次独立である。
No.7：No.6を用いて他のベクトルを表現する
残りの \(\vec v_2,\vec v_5\) は、
$$\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$
$$\vec v_5=\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$$
より、
$$\begin{eqnarray}\vec v_2&=&-\vec v_1\\\vec v_5&=&3\vec v_1+2\vec v_4\end{eqnarray}$$
と表せる。同様な関係式は \(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3,\vec u_4,\vec u_5\) でも成り立つ。
なぜ同様の関係式が \(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3,\vec u_4,\vec u_5\) にも成り立つのだろうか？
これは、\(A\vec c=\vec 0\) と \(B\vec c=\vec 0\) が常に同じ解だからである。
今回の問題の場合、\(B\vec c=\vec 0\) を解くと、
$$\begin{cases}c_1=s-3t\\c_2=s\\c_3=0\\c_4=-2t\\c_5=t\end{cases}$$
すなわち、\(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,\vec v_4,\vec v_5\) の一次関係は
$$(s-3t)\vec v_1+s\vec v_2-2t\vec v_4+t\vec v_5=\vec 0$$
となる。よって、\(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3,\vec u_4,\vec u_5\) の一次関係も
$$(s-3t)\vec u_1+s\vec u_2-2t\vec u_4+t\vec u_5=\vec 0$$
となる。そのため、\(s\neq 0,t=0\) のときに、
$$s\vec u_1+s\vec u_2=\vec 0\Leftrightarrow\vec u_1=-\vec u_2$$
となる。同様にして、\(s= 0,t\neq 0\) のときに、
$$-3t\vec u_1-2t\vec u_4+t\vec u_5=\vec 0\Leftrightarrow\vec u_5=3\vec u_1+2\vec u_4$$
となる。
\(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3,\vec u_4,\vec u_5\) の一次独立な最大個数は3
\(\vec u_1,\vec u_3,\vec u_4\) の一組は一次独立
\(\vec u_2=-\vec u_1,\vec u_5=3\vec u_1+2\vec u_4\)
まとめ
- ベクトルの一次独立な最大個数とは、ベクトルの集合の中に \(r\) 個の一次独立なベクトルが存在し、 その集合のどの \(r+1\) 個のベクトルも一次従属である場合の \(r\) のことである。
- ベクトルの一次独立な最大個数は、ベクトルの一次結合行列の階数を求めればよい。
