アニメーションを用いて線形変換の表現行列について説明するとともに、例題を解きながらわかりやすく解説します。表現行列は線形代数の理解に直結する大事な概念です。
線形変換の表現行列とは？
線形変換の表現行列とは、ベクトル空間 \(U\) の基底 \(\{\vec u_1,\cdots,\vec u_n\}\) に線形変換 \(T\) を作用させたときのベクトルの組 \(\{T(\vec u_1),\cdots,T(\vec u_n)\}\) を
$$(T(\vec u_1),\cdots ,T(\vec u_n))=(\vec u_1,\cdots,\vec u_n)A$$
のように写像先のベクトル空間 \(U\) の基底 \(\{\vec u_1,\cdots,\vec u_n\}\) の一次結合で表現する正方行列 \(A\) のことである。
標準基底の表現行列
基底として標準基底 \(\{\vec e_1,\cdots,\vec e_n\}\) をとることで、表現行列の1つが容易に求まる。
（例）\(\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) の線形変換
$$T(\vec x)=\begin{pmatrix}-1 & -4\\3 & 6\end{pmatrix}\vec x$$
\(\mathbb{R}^2\) の標準基底 \(\vec e_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)、 \(\vec e_2=\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\) に対して、
$$T(\vec e_1)=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}=(-1)\cdot\vec e_1+3\cdot\vec e_2$$
$$T(\vec e_2)=\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}=(-4)\cdot\vec e_1+6\cdot\vec e_2$$
が成り立つので、
$$\begin{pmatrix}T(\vec e_1) & T(\vec e_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & -4\\3 & 6\end{pmatrix}$$
よって、線形変換 \(T\) の基底 \(\{\vec e_1,\vec e_2\}\) に関する表現行列 \(A\) は、
$$A=\begin{pmatrix}-1 & -4\\3 & 6\end{pmatrix}$$
一般的な基底の表現行列
基底が標準基底でないときの線形変換の表現行列を素直に求めるのは、余計な手間が多く計算の効率が悪い。
（例）\(\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) の線形変換
$$T(\vec x)=\begin{pmatrix}-1 & -4\\3 & 6\end{pmatrix}\vec x$$
\(\mathbb{R}^2\) の基底 \(\vec u_1=\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}\)、 \(\vec u_2=\begin{pmatrix}-1\\1 \end{pmatrix}\) に対して、
$$T(\vec u_1)=\begin{pmatrix}-8\\6\end{pmatrix}=b_{11}\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}+b_{21}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$$
$$T(\vec u_2)=\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}=b_{12}\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}+b_{22}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$$
これらから \(b_{11}\) 〜 \(b_{22}\)を求めて…
（中略）
$$\begin{pmatrix}T(\vec u_1) & T(\vec u_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec u_1 & \vec u_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 3\end{pmatrix}$$
よって、線形変換 \(T\) の基底 \(\{\vec u_1,\vec u_2\}\) に関する表現行列 \(B\) は、
$$B=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 3\end{pmatrix}$$
一方、標準基底による線形変換の表現行列は比較的簡単に求まる。
この性質を利用して、先に標準基底による線形変換の表現行列を求めてから、一般的な基底の表現行列を求める方法を考えよう。
では、線形変換 \(T\) の標準基底 \(\{\vec e_1,\cdots,\vec e_n\}\) に関する表現行列が \(A\) のとき、基底を \(\{\vec u_1,\cdots,\vec u_n\}\) に変えると表現行列はどうなるのだろうか？
標準基底 \(\{\vec e_1,\cdots,\vec e_n\}\) と基底 \(\{\vec u_1,\cdots,\vec u_n\}\) の変換が
$$(\vec u_1,\cdots,\vec u_n)=(\vec e_1,\cdots,\vec e_n)P$$
という正方行列 \(P\) で表されるとき表現行列は以下の式で表される。
$$P^{-1}AP$$
このような \(P^{-1}AP\) を \(A\) に相似な行列と呼び、相似な行列による線形変換を特に \(A\) の相似変換と呼ぶ。
相似変換の意味
わかりやすくするために、2次正方行列 \(A\) 、正則行列 \(P\) の具体的な場合で考えてみよう。
登場する記号の意味とその関係性を整理すると、下の表および図のようになる。
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| \(T(\vec x)=\begin{pmatrix}-1 & -4\\3 & 6\end{pmatrix}\vec x\) | 線形変換 |
| \(\vec e_1=\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix},\ \vec e_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) | 標準基底 |
| \(A=\begin{pmatrix}-1 & -4\\3 & 6\end{pmatrix}\) | 標準基底の表現行列 |
| \(\vec u_1=\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix},\ \vec u_2=\begin{pmatrix}-1\\1 \end{pmatrix}\) | 基底 |
| \(P=\begin{pmatrix}-4 & -1 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\) | 基底の変換行列 |
| \(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\0 & 3\end{pmatrix}\) | 表現行列 |
図のそれぞれの変換の意味を説明する。
線形変換 \(T\) を標準基底 \(\{\vec e_1,\vec e_2\}\) に作用させると「別のベクトルの組」に変換できる。
実際、\(T(\vec e_1)=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\) 、\(T(\vec e_2)=\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}\) が成り立つ。
ここで、 \(\{T(\vec e_1),T(\vec e_2)\}\) を標準基底 \(\{\vec e_1,\vec e_2\}\) の一次結合で表すと、
$$\begin{cases}T(\vec e_1)=(-1)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\T(\vec e_2)=(-4)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+6\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\end{cases}$$
となる。従って、
$$\begin{eqnarray}&&\begin{pmatrix}T(\vec e_1) & T(\vec e_2)\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}(-1)\cdot\vec e_1+3\cdot\vec e_2 & (-4)\cdot\vec e_1+6\cdot\vec e_2\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & -4\\3 & 6\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$
よって、この表現行列を \(A\) と表せば、
$$\begin{pmatrix}T(\vec e_1) & T(\vec e_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2 \end{pmatrix}A$$
一般的な基底 \(\{\vec u_1,\vec u_2\}\) は、「標準基底 \(\{\vec e_1,\vec e_2\}\) の一次結合」によって書き下すことができる。
例えば、\(\vec u_1=\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}\) 、\(\vec u_2=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\) の組で考えると、
$$\begin{cases}\vec u_1=(-4)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\\vec u_2=(-1)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\end{cases}$$
となる。よって、
$$\begin{eqnarray}&&\begin{pmatrix}\vec u_1 & \vec u_2\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}(-4)\cdot\vec e_1+3\cdot\vec e_2 & (-1)\cdot\vec e_1+1\cdot\vec e_2\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4 & -1 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$
従って \(P=\begin{pmatrix}-4 & -1 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\) とおけば \(P\) は基底の変換行列になり、
$$\begin{pmatrix}\vec u_1 & \vec u_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2\end{pmatrix}P$$
一般的な基底 \(\{\vec u_1,\vec u_2\}\) は、「標準基底 \(\{\vec e_1,\vec e_2\}\) の一次結合」によって表せた。
同様にして、\(\{T(\vec u_1),T(\vec u_2)\}\) は \(\{T(\vec e_1),T(\vec e_2)\}\) の一次結合で表せる。
実際 \(T\) には線形性があるので、
$$\begin{eqnarray}&&\begin{pmatrix}T(\vec u_1) & T(\vec u_2) \end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}T((-4)\cdot\vec e_1+3\cdot\vec e_2) & T((-1)\cdot\vec e_1+1\cdot\vec e_2) \end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}(-4)\cdot T(\vec e_1)+3\cdot T(\vec e_2) & (-1)\cdot T(\vec e_1)+1\cdot T(\vec e_2)\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}T(\vec e_1) & T(\vec e_2) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4 & -1 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}T(\vec e_1) & T(\vec e_2) \end{pmatrix}P\end{eqnarray}$$
となり、標準基底が線形変換された後でも \(P\) は基底の変換行列として働くことがわかる。よって、
$$\begin{pmatrix}T(\vec u_1) & T(\vec u_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}T(\vec e_1) & T(\vec e_2)\end{pmatrix}P$$
基底が \(\{\vec u_1,\vec u_2\}\) であっても、線形変換 \(T\) の表現行列がある。
そこで、そのような表現行列を \(B\) とおくと、
$$\begin{pmatrix}T(\vec u_1) & T(\vec u_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec u_1 & \vec u_2 \end{pmatrix}B\cdot\cdot\cdot(*)$$
が成り立つ。ここで③と①の変換から、
$$\begin{eqnarray}&&\begin{pmatrix}T(\vec u_1) & T(\vec u_2) \end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}T(\vec e_1) & T(\vec e_2) \end{pmatrix}P\\&=&\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2 \end{pmatrix}AP\end{eqnarray}$$
となる。また、\((*)\) 式と②の変換から、
$$\begin{eqnarray}&&\begin{pmatrix}T(\vec u_1) & T(\vec u_2) \end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}\vec u_1 & \vec u_2 \end{pmatrix}B\\&=&\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2 \end{pmatrix}PB\end{eqnarray}$$
となる。よって、
$$\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2 \end{pmatrix}AP=\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2 \end{pmatrix}PB$$
すなわち \(AP=PB\) となるので、\(B=P^{-1}AP\) とすればよいことがわかる。よって \((*)\) 式は、
$$\begin{pmatrix}T(\vec u_1) & T(\vec u_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec u_1 & \vec u_2 \end{pmatrix}P^{-1}AP$$
一般的な基底の表現行列を求める場合は、標準基底による表現行列の相似な行列を求めればよい！
例題
ベクトル空間 \(\mathbb{R}^3\) の線形変換 \(T(\vec x)=\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\vec x\) に対し、\(\mathbb{R}^3\) の基底を以下のように取るときの表現行列を求めよ。
$$\vec u_1=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix},\ \vec u_2=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\ \vec u_3=\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$$
解答
標準基底 \(\{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\}\) に関する線形変換 \(T\) の表現行列を \(A\) とすると、
$$\begin{pmatrix}T(\vec e_1) & T(\vec e_2) & T(\vec e_3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3\end{pmatrix}A$$
の変換の関係より、
$$A=\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}$$
一方、基底の変換行列 \(P\) は、
$$\begin{pmatrix}\vec u_1 & \vec u_2 & \vec u_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3\end{pmatrix}P$$
の変換の関係より、
$$P=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 3\\1 & 0 & 2\end{pmatrix}$$
で与えられる。よって求める表現行列は、
$$\begin{align*}P^{-1}AP&=\begin{pmatrix}0 & -2 & 3 \\1 & -2 & 3\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 3\\1 & 0 & 2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}\end{align*}$$
まとめ
- 表現行列とは、線形変換後のベクトルをベクトル空間内の基底の一次結合で対応させる行列のことである。
- 線形変換の基底を変える場合、相似な行列を用いることで簡単に表現行列を計算できる。
