固有値

行列の固有値と固有ベクトル

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例題を解きながら行列の固有値と固有ベクトルを求める方法をステップごとにわかりやすく解説します。また、行列の固有値を固有ベクトルの定義と意味を具体例を交えて解説します。

目次
  1. 行列の固有値・固有ベクトルとは？
  2. 固有値・固有ベクトルの求め方
  3. 例題
  4. まとめ

行列の固有値・固有ベクトルとは？

普通、行列をベクトルに掛けると別のベクトルになる。

$$\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix}$$

ところが、行列を掛けても別のベクトルにならず、そのベクトルの定数倍になるものがある。

$$\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\color{red}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}=3\color{red}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$$

この定数を行列の固有値といい、ベクトルを行列の固有ベクトルという。

固有値・固有ベクトルの求め方

固有値・固有ベクトルの定義から、行列を \(A\) 、固有値を \(\lambda\) 、固有ベクトルを \(\vec x\) と置くと以下のように表現できる。

$$A\color{red}{\vec x}=\lambda \color{red}{\vec x}$$

すなわち、単位行列 \(E\) を用いた以下の方程式を解くことで固有ベクトルを求めることができる。

$$(A-\lambda E)\vec x=\vec 0\cdots(*)$$

方程式の導出はこちら

\(\vec x\) に左から単位行列 \(E\) をかけても \(\vec x\) になるので、

$$\begin{align}&&A\vec x&=\lambda\vec x\\\Leftrightarrow&& A\vec x&=\lambda(E\vec x)\\\Leftrightarrow&& A\vec x&=(\lambda E)\vec x\\\Leftrightarrow&& (A-\lambda E)\vec x&=\vec 0\end{align}$$

すなわち、

$$(A-\lambda E)\vec x=\vec 0$$

という同次形の連立一次方程式の解 \(\vec x\) を求めればよいことになる。

当然、\((*)\) 式には \(\vec x=\vec 0\) という自明な解があるが、今回知りたいのは \(\vec 0\) でない解である。

すなわち、\((*)\) 式の解が \(\vec x=\vec 0\) のただ1つに決まらなければよいため、

$$|A-\lambda E|=0$$

なぜこのように言えるのか？

\(M\vec x=\vec 0\) という同次形の連立一次方程式があるとき、

  • \(|M|\neq 0\iff\) \(\vec x\) はただ1つの解 \(\vec 0\)
  • \(|M|= 0\iff\) \(\vec x\) は不定解

と言える。

今回は \((A-\lambda E)\vec x=\vec 0\) の解が不定解である必要があるため、

$$|A-\lambda E|=0$$

を満たせばよいのである。

を満たす必要があり、この方程式を解けば固有値が求まる。

特に、\(|A-\lambda E|\) の部分を固有多項式と呼ぶ。

固有値・固有ベクトルの問題は、

  1. 固有多項式 \(|A-\lambda E|\) を求める
  2. \(|A-\lambda E|=0\) より、固有値 \(\lambda\) を求める
  3. \((A-\lambda E)\vec x=\vec 0\) の解を求める

例題

次の行列の固有値とそれに対応する固有ベクトルを求めよ。

$$A=\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}$$

No.1：\(A-\lambda E\) を求める

固有値を \(\lambda\) とおくと、

$$\begin{eqnarray}A-\lambda E&=&\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0\\0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 & 3 \\0 & 5 -\lambda& -3\\0 & 2 & -\lambda\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$

No.2：固有多項式 \(|A-\lambda E|\) の行列式を計算する

$$\begin{eqnarray}|A-\lambda E|&=&\begin{vmatrix}3-\lambda & -2 & 3 \\0 & 5-\lambda & -3\\0 & 2 & -\lambda\end{vmatrix}\\&=&-(\lambda-2)(\lambda-3)^2\end{eqnarray}$$

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No.3：\(|A-\lambda E|=0\) を解いて固有値を求める

\(-(\lambda-2)(\lambda-3)^2=0\) より固有値が求まる。

$$\lambda = 2,3$$

重解を含めると、固有値の個数は行列の次数と一致する！

No.4：No.1で求めた \(A-\lambda E\) に固有値を代入する

ここでは、例として \(\lambda =2\) の場合を考える。

$$\begin{eqnarray}A-2E&=&\begin{pmatrix}3-2 & -2 & 3 \\0 & 5-2 & -3\\0 & 2 & -2\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\0 & 3 & -3\\0 & 2 & -2\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$

No.5：\((A-\lambda E)\vec x=\vec 0\) を解いて固有ベクトルを求める

\(\vec x =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) と自分でおき、No.4の結果を用いて不定解の連立一次方程式を解く。

すなわち、係数行列の簡約化を行う。

$$\begin{eqnarray}&&(A-2E)\vec x=\vec 0\\\\&\Leftrightarrow&\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\0 & 3 & -3\\0 & 2 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\\\&\Leftrightarrow&\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\\\&\Leftrightarrow&\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-c_1\\c_1\\c_1\end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$

この解 \(c_1\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\) （\(c_1\)：0でない定数）こそが求めたかった固有ベクトルである。

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No.6：No.4〜No.5を繰り返して全ての固有値に対する固有ベクトルを求める

\(\lambda =3\) でも同様にして、

$$\begin{eqnarray}&&(A-3E)\vec x=\vec 0\\\\&\Leftrightarrow&\begin{pmatrix}0 & -2 & 3 \\0 & 2 & -3\\0 & 2 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\\\&\Leftrightarrow&\begin{pmatrix}0 & 1 & -3/2 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\\\&\Leftrightarrow&\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_1\\\frac{3}{2}c_2\\c_2\end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\3/2\\1\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$

\(c_2\rightarrow2c_2\) と置き換えることでベクトルの成分が整数になり、見栄えがよくなる。

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$$

よって、固有ベクトル \(c_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\) （\(c_1,c_2\)：同時には0でない定数）が求まる。

答え

固有値：2、固有ベクトル：\(c_1\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\) （\(c_1\)：0でない定数）

固有値：3、固有ベクトル：\(c_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\) （\(c_1,c_2\)：同時には0でない定数）

検算

固有ベクトルに行列を掛けて、固有ベクトルの固有値倍になっていることを確認する。

$$\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\color{red}{\begin{pmatrix}-c_1\\c_1\\c_1\end{pmatrix}}=2\color{red}{\begin{pmatrix}-c_1\\c_1\\c_1\end{pmatrix}}$$

$$\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\color{red}{\begin{pmatrix}c_1\\3c_2\\2c_2\end{pmatrix}}=3\color{red}{\begin{pmatrix}c_1\\3c_2\\2c_2\end{pmatrix}}$$

まとめ

  • 行列による写像によってベクトルがそのベクトルの定数倍に写されるとき、その定数を行列の固有値、ベクトルを行列の固有ベクトルと呼ぶ。
  • 固有値、固有ベクトルは固有多項式から求めることができる。
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