同次形の微分方程式
次の形の微分方程式を考えよう。
$$y’=f\left(\frac{y}{x}\right)$$
このような微分方程式を同次形の微分方程式という。
\(\displaystyle\frac{y}{x}=u\) と置くことで, 変数分離形の微分方程式に直すことができる。
解法
No.1
微分方程式を \(y’=f\left(\frac{y}{x}\right)\) の形に「変形」する。
この「変形」だがほぼ100%「割り算」である。
No.2
微分方程式の右辺について \(\displaystyle\frac{y}{x}=u\) と置き換える。
No.3
微分方程式の左辺について \(y’=u+xu’\) と置き換える。
No.4
\(u’=○○\) の形に変形する。
後は変数分離形の微分方程式の解き方に沿って式を解いていくと
\(u=\) ( \(x\)の関数 )が求まるので
最後に \(u\) を \(\displaystyle\frac{y}{x}\) に戻してあげる。
例題
$$y’=\displaystyle\frac{xy}{x^2-y^2}$$
No.1
右辺の分母と分子をそれぞれ \(x^2\) で割ると…
$$y’=\displaystyle\frac{\frac{y}{x}}{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2}$$
No.2
\(u=\displaystyle\frac{y}{x}\) と置き換える。
$$y’=\displaystyle\frac{u}{1-u^2}\cdot\cdot\cdot\left(A\right)$$
No.3
No.2 で \(u=\displaystyle\frac{y}{x}\) つまり \(y=ux\)
\(y=ux\) について両辺を \(x\) で微分して
$$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$$
見た目が暑苦しいので\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=y’\), \(\displaystyle\frac{du}{dx}=u’\) と置き換えると
$$y’=u’x+u\cdot\cdot\cdot\left(B\right)$$
No.4
\(\left(A\right)\), \(\left(B\right)\) から \(y’\) を消去して
$$xu’+u=\displaystyle\frac{u}{1-u^2}$$
$$xu’=\displaystyle\frac{u}{1-u^2}-u$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\displaystyle\frac{u}{1-u^2}-\displaystyle\frac{u\left(1-u^2\right)}{1-u^2}$$
$$=\displaystyle\frac{u^3}{1-u^2}$$
$$u’=\displaystyle\frac{1}{x}\displaystyle\frac{u^3}{1-u^2}$$
変数分離形の微分方程式に帰着できたので
後は 変数分離形の微分方程式の解き方 に従い解き進める
$$\displaystyle\frac{du}{dx}=\displaystyle\frac{1}{x}\displaystyle\frac{u^3}{1-u^2}$$
$$\displaystyle\frac{1-u^2}{u^3}du=\displaystyle\frac{1}{x}dx$$
$$\int\displaystyle\frac{1-u^2}{u^3}du=\int\displaystyle\frac{1}{x}dx$$
$$-\displaystyle\frac{1}{2u^2}-\log{|u|}=\log{|x|}+C_1$$
$$\left(C_1は積分定数\right)$$
\(u=\displaystyle\frac{y}{x}\) を代入して
$$-\displaystyle\frac{x^2}{2y^2}-\log{|\displaystyle\frac{y}{x}|}=\log{|x|}+C_1$$
\(\log{|\displaystyle\frac{y}{x}|}=\log{y}-\log{x}\) より
$$-\displaystyle\frac{x^2}{2y^2}-\log{y}=C_1$$
$$\displaystyle\frac{x^2}{2y^2}+\log{y}=C\ \ \ \ \ \left(C=-C_1\right)$$
\(y’\)の存在しない\(x\),\(y\),積分定数のみ登場する式さえ作れれば，必ずしも変形を施して \(y=○○\) の形で答えを出す必要はない。
練習問題
\(y’=\displaystyle\frac{y-x}{x+y}\)を解け。
ひとこと
分母分子を何で割り算すれば \(\displaystyle\frac{y}{x}\) を作り出せるかを見出だすだけの問題である。
しかも大抵割るのは \(x^n\) の形である。
質問がありましたらコメントにてお願い致します。
