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2階線形微分方程式の３つのパターン
2階線形微分方程式 \(y^{\prime\prime}+ay’+by=0\) は特性方程式 $$\lambda^2+a\lambda+b=0\cdot\cdot\cdot\left(A\right)$$ を解くことで攻略できた。
上の記事では特性方程式の解が 異なる2つの実数解を持つパターン のみを考えたが、当然2次方程式の解のパターンとしては、他に
・重解を持つパターン
・複素数解を持つパターン
がある。特性方程式がこれら他2パターンである場合での解を求めていこう。
特性方程式が異なる2つの実数解を持つパターン
特性方程式が異なる二つの実数解を持つ場合は、既に別記事でも説明しているが改めて確認する。 特性方程式(A)が異なる二つの実数解を持つとき（つまり \(a^2-4b>0\) のとき）、その二つの解を \(\alpha\)、\(\beta\) とすると解となる関数は次のようになる。
$$y=C_1\mathrm{e}^{\alpha x}+C_2\mathrm{e}^{\beta x}$$
詳しい説明は上のリンク先の記事で確認していただきたい。
特性方程式が重解を持つパターン
特性方程式(A)が重解を持つとき（つまり \(a^2-4b=0\) のとき）、その重解を \(\alpha\) とすると、解となる関数は次のようになる。
$$y=\left(C_1+C_{2}x\right)\mathrm{e}^{\alpha x}$$
多くの人は「なんだこの \(C_{2}x\) は？」と思ったに違いない。この部分について解説する。
まず、特性方程式(A)の解が \(\lambda=\alpha\ \left(重解\right)\) であるが、 「特性方程式が異なる二つの実数解を持つパターン」と同じ考え方で \(y=\mathrm{e}^{\alpha x}\) を解として持つことがわかる。
今、2次方程式 \(\lambda^2+a\lambda+b=0\) が重解 \(\lambda=\alpha\) を持つことから次の恒等式を得る。
$$\lambda^2+a\lambda+b=\left(\lambda-\alpha\right)^2$$
両辺に \(\mathrm{e}^{\lambda x}\) をかけると
$$\left(\lambda^2+a\lambda+b\right)\mathrm{e}^{\lambda x}=\left(\lambda-\alpha\right)^{2}\mathrm{e}^{\lambda x}$$ $$\left(\lambda^{2}\mathrm{e}^{\lambda x}\right)+a\left(\lambda\mathrm{e}^{\lambda x}\right)+b\mathrm{e}^{\lambda x}=\left(\lambda-\alpha\right)^{2}\mathrm{e}^{\lambda x}$$
ここで、\(\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{\prime}=\lambda\mathrm{e}^{\lambda x}\)、\(\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{\prime\prime}=\lambda^{2}\mathrm{e}^{\lambda x}\) であるので次式を得る。
$$\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{\prime\prime}+a\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{\prime}+b\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)=\left(\lambda-\alpha\right)^{2}\mathrm{e}^{\lambda x}\cdot\cdot\cdot\left(B\right)$$
式 \(\left(B\right)\) は恒等式（ \(x\) や \(\lambda\) の値に依らず成り立つ式）であるため、両辺を 変数 \(\lambda\) で微分しても成り立つので
\begin{eqnarray}\left(x\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{\prime\prime}+a\left(x\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{\prime}+b\left(x\mathrm{e}^{\lambda x}\right)&=&2\left(\lambda-\alpha\right)\mathrm{e}^{\lambda x}+\left(\lambda-\alpha\right)^{2} x\mathrm{e}^{\lambda x}\\&=&\{2+\left(\lambda-\alpha\right)x\}\left(\lambda-\alpha\right)\mathrm{e}^{\lambda x}\end{eqnarray}
この左辺の変形については下の黒板「偏微分の順番に意味はなし」を参照していただきたい。
この式に \(\lambda=\alpha\) を代入すると、
$$\left(x\mathrm{e}^{\alpha x}\right)^{\prime\prime}+a\left(x\mathrm{e}^{\alpha x}\right)^{\prime}+b\left(x\mathrm{e}^{\alpha x}\right)=\{2+\left(\alpha-\alpha\right)x\}\left(\alpha-\alpha\right)\mathrm{e}^{\alpha x}$$ $$\left(x\mathrm{e}^{\alpha x}\right)^{\prime\prime}+a\left(x\mathrm{e}^{\alpha x}\right)^{\prime}+b\left(x\mathrm{e}^{\alpha x}\right)=0$$
従って、特性方程式(A)が重解 \(\alpha\) を持つとき、\(y=x\mathrm{e}^{\alpha x}\) は微分方程式 \(y^{\prime\prime}+ay’+by=0\) の解であることがわかる。
よって、微分方程式 \(y^{\prime\prime}+ay’+by=0\) は、\(\mathrm{e}^{\alpha x}\) と \(x\mathrm{e}^{\alpha x}\) を解として持つので、 重ね合わせの理より解
$$y=\left(C_1+C_{2}x\right)\mathrm{e}^{\alpha x}$$
を得る。
\(\left(\bigcirc\right)^{\prime}\) の上付きのチョンは \(x\) による微分を表すので、\(\lambda\) による微分には影響を与えない。（つまり括弧の中身を \(\lambda\) 微分すればOK）
例えば、\(\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{\prime}\) を \(x\) について微分(チョンを外す)してから \(\lambda\) について微分すると、
$$\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{\prime}=\lambda\mathrm{e}^{\lambda x}\xrightarrow[\lambda で微分]{}x\lambda\mathrm{e}^{\lambda x}$$
次に\(\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{\prime}\) を \(\lambda\) について微分 してから \(x\) について微分(チョンを外す)すると、
$$\left(\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{\prime}\xrightarrow[\lambda で微分]{}\left(\lambda\mathrm{e}^{\lambda x}\right)^{\prime}=x\lambda\mathrm{e}^{\lambda x}$$
となり、
特性方程式が複素数解を持つパターン
特性方程式(A)が複素数解を持つとき（つまり \(a^2-4b<0\) のとき）、その複素数解を \(\alpha\pm\mathit{i}\beta\) とすると、解となる関数は次のようになる。
$$y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x}\right)$$
今回の三角関数を含んだ解が生じた経緯を説明する。 まず、特性方程式（A）が複素数解 \(\alpha\pm\mathit{i}\beta\) を持つので、 「特性方程式が異なる二つの実数解を持つパターン」と同じ考え方で \(y_1=\mathrm{e}^{\left(\alpha+\mathit{i}\beta\right)x}\) と \(y_2=\mathrm{e}^{\left(\alpha-\mathit{i}\beta\right)x}\) を解として持つことがわかる。
ここで、指数関数と三角関数を繋ぐオイラーの公式 \(\mathrm{e}^{\mathit{i}\theta}=\cos{\theta}+\mathit{i}\sin{\theta}\) を用いることで
\begin{eqnarray}y_1&=&\mathrm{e}^{\left(\alpha+\mathit{i}\beta\right)x}\\&=&\mathrm{e}^{\alpha x}\cdot\mathrm{e}^{\mathit{i}\beta x}\\&=&\mathrm{e}^{\alpha x}\left(\cos{\beta x}+\mathit{i}\sin{\beta x}\right)\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}y_2&=&\mathrm{e}^{\left(\alpha-\mathit{i}\beta\right)x}\\&=&\mathrm{e}^{\alpha x}\cdot\mathrm{e}^{-\mathit{i}\beta x}\\&=&\mathrm{e}^{\alpha x}\cdot\mathrm{e}^{\mathit{i}\left(-\beta x\right)}\\&=&\mathrm{e}^{\alpha x}\{\cos{\left(-\beta x\right)}+\mathit{i}\sin{\left(-\beta x\right)}\}\\&=&\mathrm{e}^{\alpha x}\left(\cos{\beta x}-\mathit{i}\sin{\beta x}\right)\end{eqnarray}
\(\cos{\left(-\theta\right)}=\cos{\theta}\) 及び \(\sin{\left(-\theta\right)}=-\sin{\theta}\) を用いた。（偶関数、奇関数の性質）
従って、微分方程式 \(y^{\prime\prime}+ay’+by=0\) は、 \(y_1=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(\cos{\beta x}+\mathit{i}\sin{\beta x}\right)\) と \(y_2=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(\cos{\beta x}-\mathit{i}\sin{\beta x}\right)\) を解として持つので、 重ね合わせの理より解
\begin{eqnarray}y&=&c_{1}y_1+c_{2}y_2\\&=&c_1\mathrm{e}^{\alpha x}\left(\cos{\beta x}+\mathit{i}\sin{\beta x}\right)+c_2\mathrm{e}^{\alpha x}\left(\cos{\beta x}-\mathit{i}\sin{\beta x}\right)\\&=&\left(c_1+c_2\right)\mathrm{e}^{\alpha x}\cos{\beta x}+\mathit{i}\left(c_1-c_2\right)\mathrm{e}^{\alpha x}\sin{\beta x}\end{eqnarray}
\(C_1=c_1+c_2\)、\(C_2=\mathit{i}\left(c_1-c_2\right)\) と置くことで求める微分方程式の解は次のようになる。
$$y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x}\right)$$
\(C_2=\mathit{i}\left(c_1-c_2\right)\) は複素数値の係数であるが、今回の議論においては解の範囲は特に指定していないため複素数係数も許している。
例題
例題１
\(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=0\) を解け。
例題２
\(y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=0\) を解け。
例題３
\(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0\) を解け。
例題の解答
例題１
特性方程式を解くと
$$\lambda^2-3\lambda+2=0$$
$$\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-1\right)=0$$
$$\lambda=\begin{cases}2\\1\end{cases}$$
特性方程式の解が「異なる二つの実数解」であるので求める微分方程式の解は
$$y=C_1\mathrm{e}^{2 x}+C_2\mathrm{e}^{x}$$
ただし \(C_1\)、\(C_2\) は定数。
例題２
特性方程式を解くと
$$\lambda^2-6\lambda+9=0$$
$$\left(\lambda-3\right)^2=0$$
$$\lambda=3\ \ \ (重解)$$
特性方程式の解が「重解」であるので求める微分方程式の解は
$$y=\left(C_1+C_{2}x\right)\mathrm{e}^{3x}$$
ただし \(C_1\)、\(C_2\) は定数。
例題３
特性方程式を解くと
$$\lambda^2+2\lambda+2=0$$
\begin{eqnarray}\lambda&=&\displaystyle\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}\\&=&\displaystyle\frac{-2\pm2\mathit{i}}{2}\\&=&-1\pm\mathit{i}\end{eqnarray}
特性方程式の解が「複素数解」であるため求める微分方程式の解は
$$y=\mathrm{e}^{-x}\left(C_1\cos{x}+C_2\sin{x}\right)$$
ただし \(C_1\)、\(C_2\) は定数。
練習問題
練習問題１
\(y^{\prime\prime}+y^{\prime}-12y=0\) を解け。
練習問題２
\(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+4y=0\) を解け。
練習問題３
\(y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=0\) を解け。
練習問題４
\(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}=0\) を解け。
練習問題５
\(2y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0\) を解け。
ひとこと
2階線形微分方程式 \(y^{\prime\prime}+ay’+by=0\) は特性方程式 \(\left(A\right)\) \(\lambda^2+a\lambda+b=0\) の実数解の個数に応じて3パターンの解の取り方をすることが分かった。
特性方程式 \(\lambda^2+a\lambda+b=0\) が
異なる２つの実数解 \(\alpha\)、\(\beta\) を持つとき
$$y=C_1\mathrm{e}^{\alpha x}+C_2\mathrm{e}^{\beta x}$$
重解 \(\alpha\) を持つとき
$$y=\left(C_1+C_{2}x\right)\mathrm{e}^{\alpha x}$$
複素数解 \(\alpha\pm\mathit{i}\beta\) を持つとき
$$y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x}\right)$$
