3階以上の微分方程式
次の形の微分方程式を考えてみよう。
$$y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}+y^{\prime}+1=0$$
とうとう \(y^{\prime\prime\prime}\) が登場してしまった。しかしながら、3階の微分方程式も微分演算子 \(D\) を使うことで解くことができる。その解法を確認していこう。
微分演算子については下記事を参照してください。
解法の解説
No.1 ： 微分方程式を微分演算子 \(D\) を使って書き直す
微分方程式 \(y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}+y^{\prime}+y=0\) を微分演算子 \(D\) を使って書き直すと
$$D^{3}y+D^{2}y+Dy+y=0$$
すなわち
$$\left(D^{3}+D^{2}+D+1\right)y=0$$
No.2 : 左辺の微分演算子部分を因数分解する。
\(D^{3}+D^{2}+D+1\) について、\(D=-1\) を代入すると
\((-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1=0\) となるので、\(D+1\) を因数として持つことが分かる。従って、多項式どうしの割り算計算をしてあげると
となり、
$$D^{3}+D^{2}+D+1=\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)$$
と因数分解される。
No.3 : \(y=\bigcirc\bigcirc\) の形にする。
\(\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)y=0\) の両辺を左から \(\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)\) で割ると
$$y=\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)}\{0\}$$
右辺が０だからといって \(y=0\) となるわけではない。
例えば、\(\displaystyle\frac{1}{D}\{0\}\) は「0を1回積分」を意味するので
$$\displaystyle\frac{1}{D}\{0\}=C$$
となる。このように、微分演算子は微分・積分を掛け算・割り算と似たような計算ができるようになるが、その本質はあくまで微分・積分であり「約分」や「累乗」、「通分」といった掛け算・割り算由来の計算テクニックを適用させるのは思う存分やってもらっていいが、最終的に微分演算子を掛け算・割り算する時（微分演算子を計算して消すとき）は微分・積分計算をしなければならない。
また「左から」割るといった割り算の方向指定をしている理由だが、微分演算子の絡んだ掛け算・割り算は交換法則が成り立たない。例えば
$$x\left(x+1\right)=x^{2}+x$$
といった式の両辺を左から微分演算子 \(D\) で割ると
$$\displaystyle\frac{1}{D}\{x\left(x+1\right)\}=\displaystyle\frac{1}{D}\{x^{2}+x\}$$
となり、等式は成り立つが左辺の順序を入れ替えて
$$x\displaystyle\frac{1}{D}\{x+1\}=\displaystyle\frac{1}{D}\{x^{2}+x\}$$
となり等式は明らかに成り立たなくなる。これは \(\displaystyle\frac{1}{D}\{\cdot\}\) が不定積分 \(\int\cdot dx\) を意味するので不定積分の内外の関数の交換が出来ないことに由来する。
No.4 ： 右辺の微分演算子部分を部分分数分解する
右辺の微分演算子部分 \(\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)}\) を部分分数分解する。
まず、
\begin{eqnarray}&&\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)}\\\\&=&\displaystyle\frac{a}{D+1}+\displaystyle\frac{bD}{D^{2}+1}+\displaystyle\frac{c}{D^{2}+1}\\\\&=&\displaystyle\frac{a}{D+1}+\displaystyle\frac{bD+c}{D^{2}+1}\end{eqnarray}
とおく。右辺を通分すると
\begin{eqnarray}&&\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)}\\\\&=&\displaystyle\frac{a}{D+1}+\displaystyle\frac{bD+c}{D^{2}+1}\\\\&=&\displaystyle\frac{a\left(D^{2}+1\right)+\left(bD+c\right)\left(D+1\right)}{\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)}\\\\&=&\displaystyle\frac{aD^{2}+a+bD^{2}+bD+cD+c}{\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)}\\\\&=&\displaystyle\frac{\left(a+b\right)D^{2}+\left(b+c\right)D+\left(c+a\right)}{\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)}\end{eqnarray}
第1式と最後の式の分子の係数を比較して
$$\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a=1\end{cases}$$
この連立方程式を解くと
$$\begin{cases}a=\displaystyle\frac{1}{2}\\\\b=-\displaystyle\frac{1}{2}\\\\c=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}$$
従って、部分分数分解は次のようになる。
\begin{eqnarray}&&\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)}\\\\&=&\displaystyle\frac{a}{D+1}+\displaystyle\frac{bD+c}{D^{2}+1}\\\\&=&\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{D+1}+\displaystyle\frac{-\frac{1}{2}D+\frac{1}{2}}{D^{2}+1}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{D+1}-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{D-1}{D^{2}+1}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{D+1}-\displaystyle\frac{D-1}{D^{2}+1}\right)\end{eqnarray}
No.5 : 微分演算子の公式を使いまくって解を求める
微分演算子の公式を駆使して解き進める。（下記事参照）
\begin{eqnarray}y&=&\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)\left(D^{2}+1\right)}\{0\}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{D+1}-\displaystyle\frac{D-1}{D^{2}+1}\right)\{0\}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\displaystyle\frac{1}{D+1}\{0\}-\displaystyle\frac{D-1}{D^{2}+1}\{0\}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\displaystyle\frac{1}{D+1}\{0\}-\displaystyle\frac{D}{D^{2}+1}\{0\}+\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\{0\}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\displaystyle\frac{1}{D+1}\{0\}-\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\{D\left(0\right)\}+\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\{0\}\right]\end{eqnarray}
ここで \(D\left(0\right)\) は「０を \(x\) で1回微分」を意味するので０である。
すなわち
\begin{eqnarray}y&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\displaystyle\frac{1}{D+1}\{0\}-\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\{0\}+\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\{0\}\right]\cdot\cdot\cdot\left(*\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\displaystyle\frac{1}{D+1}\{0\}+\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\{-0+0\}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\displaystyle\frac{1}{D+1}\{0\}+\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\{0\}\right]\end{eqnarray}
(式(\(*\))の計算については下の「式(\(*\))の計算について」を参照)
ここで次の公式(A)、(C)
$$\displaystyle\frac{1}{\left(D-\alpha\right)^{n}}f\left(x\right)=\mathrm{e}^{\alpha x}\displaystyle\frac{1}{D^{n}}\{\mathrm{e}^{-\alpha x}f\left(x\right)\}\cdot\cdot\cdot\left(A\right)$$
$$\displaystyle\frac{1}{D^{2}+\beta^{2}}f\left(x\right)=\displaystyle\frac{\sin{\beta x}}{\beta}\displaystyle\frac{1}{D}\{f\left(x\right)\cos{\beta x}\}-\displaystyle\frac{\cos{\beta x}}{\beta}\displaystyle\frac{1}{D}\{f\left(x\right)\sin{\beta x}\}\cdot\cdot\cdot\left(C\right)$$
を使うと
\begin{eqnarray}&&y\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\mathrm{e}^{-x}\frac{1}{D}\left(\mathrm{e}^{x}\cdot 0\right)-\{\sin{x}\displaystyle\frac{1}{D}\left(0\cdot \cos{x}\right)-\cos{x}\displaystyle\frac{1}{D}\left(0\cdot\sin{x}\right)\}+\{\sin{x}\displaystyle\frac{1}{D}\left(0\cdot \cos{x}\right)-\cos{x}\displaystyle\frac{1}{D}\left(0\cdot\sin{x}\right)\}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\mathrm{e}^{-x}\frac{1}{D}\left(0\right)-\{\sin{x}\displaystyle\frac{1}{D}\left(0\right)-\cos{x}\displaystyle\frac{1}{D}\left(0\right)\}+\{\sin{x}\displaystyle\frac{1}{D}\left(0\right)-\cos{x}\displaystyle\frac{1}{D}\left(0\right)\}\right]\end{eqnarray}
ここで、\(\displaystyle\frac{1}{D}\left(0\right)\) は「０を \(x\) で1回積分」を意味するので、定数となる。
従って、定数 \(c_{1}\)、\(c_{2}\)、\(c_{3}\)、\(c_{4}\)、\(c_{5}\) を用いて
\begin{eqnarray}&&y\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[c_{1}\mathrm{e}^{-x}-\{c_{2}\sin{x}-c_{3}\cos{x}\}+\{c_{4}\sin{x}-c_{5}\cos{x}\}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[c_{1}\mathrm{e}^{-x}-\left(c_{3}+c_{5}\right)\cos{x}+\left(c_{4}-c_{2}\right)\sin{x}\right]\end{eqnarray}
新たに定数 \(C_{1}\)、\(C_{2}\)、\(C_{3}\) を使って \(C_1=\displaystyle\frac{1}{2}c_{1}\)、\(C_{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}\left(c_{3}+c_{5}\right)\)、\(C_{3}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(c_{4}-c_{2}\right)\) と置き換えると
$$y=C_{1}\mathrm{e}^{-x}+C_{2}\cos{x}+C_{3}\sin{x}$$
式 (\(*\)) の1つ目の式で
$$-\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\{0\}+\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\{0\}=0$$
と計算しないように！！
例えば単純な積分 \(\displaystyle\frac{1}{D}\) を使った式
$$\displaystyle\frac{1}{D}\{0\}-\displaystyle\frac{1}{D}\{0\}$$
を考えてみよう。一見互いに打ち消しあって０となってしまいそうなものだが、\(\displaystyle\frac{1}{D}\) が不定積分 \(\int\cdot dx\) を意味することを意識すると
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{1}{D}\{0\}-\displaystyle\frac{1}{D}\{0\}&=&\int{0}dx-\int{0}dx\\\\&=&\int{0-0}dx\\\\&=&\int{0}dx\\\\&=&C\end{eqnarray}
とかっこの中身に引き算が適用されて計算される。今回の式 \((*)\) も同様であくまで \(\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\) は（単純ではないが）積分を意味するので、お互いの足し算引き算はかっこの中身で行われる。
例題
\(y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime}-2y=\mathrm{e}^{-2x}\) を解け。
例題の解答
No.1 ： 微分方程式を微分演算子 \(D\) を使って書き直す
微分方程式 \(y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime}-2y=\mathrm{e}^{-2x}\) を微分演算子 \(D\) を使って書き直すと
$$D^{3}y-3Dy-2y=\mathrm{e}^{-2x}$$
すなわち
$$\left(D^{3}-3D-2\right)y=\mathrm{e}^{-2x}$$
No.2 : 左辺の微分演算子部分を因数分解する。
\(D^{3}-3D-2\) について、\(D=-1\) を代入すると
\((-1)^{3}-3\times(-1)-2=0\) となるので、\(D+1\) を因数として持つことが分かる。従って、多項式どうしの割り算計算をしてあげると
となり、
$$D^{3}-3D-2=\left(D+1\right)\left(D^{2}-D-2\right)$$
すなわち
$$D^{3}-3D-2=\left(D+1\right)\left(D+1\right)\left(D-2\right)$$
$$D^{3}-3D-2=\left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right)$$
と因数分解される。
No.3 : \(y=\bigcirc\bigcirc\) の形にする。
\(\left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right)y=\mathrm{e}^{-2x}\) の両辺を左から \(\left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right)\) で割ると
$$y=\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right)}\{\mathrm{e}^{-2x}\}$$
No.4 ： 右辺の微分演算子部分を部分分数分解する
右辺の微分演算子部分 \(\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right)}\) を部分分数分解する。
まず、
$$\displaystyle\frac{1}{ \left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right) }=\displaystyle\frac{aD+b}{ \left(D+1\right)^{2} }+\displaystyle\frac{c}{D-2}$$
と置く。右辺を通分すると
\begin{eqnarray}&&\displaystyle\frac{1}{ \left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right)}\\\\&=& \displaystyle\frac{aD+b}{ \left(D+1\right)^{2} }+\displaystyle\frac{c}{D-2} \\\\&=&\displaystyle\frac{\left(aD+b\right) \left(D-2\right)+c \left(D+1\right)^{2} }{ \left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right) }\\\\&=&\displaystyle\frac{aD^{2}-2aD+bD-2b+cD^{2}+2cD+c}{\left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right) }\\\\&=&\displaystyle\frac{\left(a+c\right)D^{2}+\left(-2a+b+2c\right)D+\left(-2b+c\right)}{ \left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right) }\end{eqnarray}
第1式と最後の式の分子の係数を比較して
$$\begin{cases}a+c=0\\ -2a+b+2c =0\\ -2b+c =1\end{cases}$$
この連立方程式を解くと
$$\begin{cases}a=-\displaystyle\frac{1}{9}\\\\b=-\displaystyle\frac{4}{9}\\\\c=\displaystyle\frac{1}{9}\end{cases}$$
従って、部分分数分解は次のようになる。
\begin{eqnarray}&&\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right)}\\\\&=&\displaystyle\frac{aD+b}{ \left(D+1\right)^{2} }+\displaystyle\frac{c}{D-2}\\\\&=&\displaystyle\frac{-\frac{1}{9}D-\frac{4}{9}}{\left(D+1\right)^{2}}+\displaystyle\frac{\frac{1}{9}}{D-2}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\displaystyle\frac{D+4}{\left(D+1\right)^{2}}+\displaystyle\frac{1}{D-2}\right]\end{eqnarray}
No.5 : 微分演算子の公式を使いまくって解を求める
No.4 で得た部分分数分解の結果から
\begin{eqnarray}y&=&\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)^{2}\left(D-2\right)}\{\mathrm{e}^{-2x}\}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\displaystyle\frac{D+4}{\left(D+1\right)^{2}}+\displaystyle\frac{1}{D-2}\right]\{\mathrm{e}^{-2x}\}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\displaystyle\frac{D+4}{\left(D+1\right)^{2}}\{\mathrm{e}^{-2x}\}+\displaystyle\frac{1}{D-2}\{\mathrm{e}^{-2x}\}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\displaystyle\frac{D}{\left(D+1\right)^{2}}\{\mathrm{e}^{-2x}\}-\displaystyle\frac{4}{\left(D+1\right)^{2}}\{\mathrm{e}^{-2x}\}+\displaystyle\frac{1}{D-2}\{\mathrm{e}^{-2x}\}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)^{2}}\{D\left(\mathrm{e}^{-2x}\right)\}-4\cdot\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)^{2}}\{\mathrm{e}^{-2x}\}+\displaystyle\frac{1}{D-2}\{\mathrm{e}^{-2x}\}\right]\end{eqnarray}
ここで \(D\left(\mathrm{e}^{-2x}\right)\) は「\(\mathrm{e}^{-2x}\) を \(x\) で1回微分」を意味するので \(-2\mathrm{e}^{-2x}\)である。
すなわち
$$y=\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)^{2}}\{-2\mathrm{e}^{-2x}\}-4\cdot\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)^{2}}\{\mathrm{e}^{-2x}\}+\displaystyle\frac{1}{D-2}\{\mathrm{e}^{-2x}\}\right]$$
ここで次の公式(A)
$$\displaystyle\frac{1}{\left(D-\alpha\right)^{n}}f\left(x\right)=\mathrm{e}^{\alpha x}\displaystyle\frac{1}{D^{n}}\{\mathrm{e}^{-\alpha x}f\left(x\right)\}\cdot\cdot\cdot\left(A\right)$$
を使うと
\begin{eqnarray}&&y\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)^{2}}\{-2\mathrm{e}^{-2x}\}-4\cdot\displaystyle\frac{1}{\left(D+1\right)^{2}}\{\mathrm{e}^{-2x}\}+\displaystyle\frac{1}{D-2}\{\mathrm{e}^{-2x}\}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\mathrm{e}^{-x}\frac{1}{D^{2}}\{\mathrm{e}^{x}\cdot \left(-2\mathrm{e}^{-2x}\right)\}-4\cdot\mathrm{e}^{-x}\displaystyle\frac{1}{D^{2}}\{\mathrm{e}^{x}\cdot\mathrm{e}^{-2x}\}+\mathrm{e}^{2x}\displaystyle\frac{1}{D}\{\mathrm{e}^{-2x}\cdot\mathrm{e}^{-2x}\}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\mathrm{e}^{-x}\frac{1}{D^{2}}\{-2\mathrm{e}^{-x}\}-4\cdot\mathrm{e}^{-x}\displaystyle\frac{1}{D^{2}}\{\mathrm{e}^{-x}\}+\mathrm{e}^{2x}\displaystyle\frac{1}{D}\{\mathrm{e}^{-4x}\}\right]\end{eqnarray}
ここで、\(\displaystyle\frac{1}{D}\) は「\(x\) で1回積分」を \(\displaystyle\frac{1}{D^{2}}\) は「\(x\) で2回積分」を意味するので
\begin{eqnarray}y&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\mathrm{e}^{-x}\iint\{-2\mathrm{e}^{-x}\}dx-4\cdot\mathrm{e}^{-x}\iint\{\mathrm{e}^{-x}\}dx+\mathrm{e}^{2x}\int\{\mathrm{e}^{-4x}\}dx\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\mathrm{e}^{-x}\int\{2\mathrm{e}^{-x}+c_{1}\}dx-4\cdot\mathrm{e}^{-x}\int\{-\mathrm{e}^{-x}+c_{2}\}dx+\mathrm{e}^{2x}\{-\displaystyle\frac{1}{4}\mathrm{e}^{-4x}+c_{3}\}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\mathrm{e}^{-x}\{-2\mathrm{e}^{-x}+c_{1}x+d_{1}\}-4\cdot\mathrm{e}^{-x}\{\mathrm{e}^{-x}+c_{2}x+d_{2}\}+\mathrm{e}^{2x}\{-\displaystyle\frac{1}{4}\mathrm{e}^{-4x}+c_{3}\}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[2\mathrm{e}^{-2x}-c_{1}x\mathrm{e}^{-x}-d_{1}\mathrm{e}^{-x}-4\mathrm{e}^{-2x}-4c_{2}x\mathrm{e}^{-x}-4d_{2}\mathrm{e}^{-x}-\displaystyle\frac{1}{4}\mathrm{e}^{-2x}+c_{3}\mathrm{e}^{2x}\right]\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{9}\left[-\left(d_{1}+4d_{2}\right)\mathrm{e}^{-x}+c_{3}\mathrm{e}^{2x}-\left(c_{1}+4c_{2}\right)x\mathrm{e}^{-x}-\displaystyle\frac{9}{4}\mathrm{e}^{-2x}\right]\\\\&=&-\displaystyle\frac{1}{9}\left(d_{1}+4d_{2}\right)\mathrm{e}^{-x}+\displaystyle\frac{1}{9}c_{3}\mathrm{e}^{2x}-\displaystyle\frac{1}{9}\left(c_{1}+4c_{2}\right)x\mathrm{e}^{-x}-\displaystyle\frac{1}{4}\mathrm{e}^{-2x}\end{eqnarray}
新たに定数 \(C_{1}\)、\(C_{2}\)、\(C_{3}\) を使って \(C_1=-\displaystyle\frac{1}{9}\left(d_{1}+4d_{2}\right)\)、\(C_{2}=\displaystyle\frac{1}{9}c_{3}\)、\(C_{3}=-\displaystyle\frac{1}{9}\left(c_{1}+4c_{2}\right)\) と置き換えると
$$y=C_{1}\mathrm{e}^{-x}+C_{2}\mathrm{e}^{2x}+C_{3}x\mathrm{e}^{-x}-\displaystyle\frac{1}{4}\mathrm{e}^{-2x}$$
練習問題
練習問題1
\(y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=0\) を解け。
練習問題2
\(y^{\prime\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+1=\sin{x}\) を解け。
ひとこと
2階線形微分方程式で登場した微分演算子 \(D) を3階微分方程式にも使うことができることが分かった。
微分演算子周りの計算は数字や文字と同じように部分分数分解や約分、因数分解といった計算テクニックを使うことができるが、あくまでも微分・積分を意味する記号なので「式 (\(*\)) の計算について」で述べたように、ミスを引き起こすことも多い。
