連立微分方程式
「連立方程式」は皆知っての如く複数の文字から成る複数の方程式を捌いて複数の解を求めるものであった。
同様に複数の関数から成る複数の微分方程式を捌いて複数の解を求める「連立微分方程式」なるものも存在する。
次の形の微分方程式を考えよう。
$$\begin{cases}y^{\prime}-2y+z=0\\\\2y+z^{\prime}-3z=0\end{cases}$$
\(x\) の関数である \(y\)、\(z\) とその1回微分 \(y^{\prime}\)、\(z^{\prime}\) が並列で等式を結んでいる。このような式に対しても「微分演算子」を使うことで随分と解き進めやすくなる。
次の記事の「また登場！「解予想」」の項目を読んでおくことを推奨する。
解法
連立微分方程式
$$\begin{cases}y^{\prime}-2y+z=0\\\\2y+z^{\prime}-3z=0\end{cases}$$
を解いていこう。
No.1 ： 微分演算子を使って微分方程式を書き直す
微分演算子 \(D\) を使って連立微分方程式を書き直すと
$$\begin{cases}Dy-2y+z=0\cdot\cdot\cdot\left(1\right)\\\\2y+Dz-3z=0\cdot\cdot\cdot\left(2\right)\end{cases}$$
すなわち
$$\begin{cases}\left(D-2\right)y+z=0 \cdot\cdot\cdot\left(1\right) \\\\2y+ \left(D-3\right) z=0 \cdot\cdot\cdot\left(2\right)\end{cases} $$
No.2 : 片方の文字（ 今回は \(z\) ）を消去
通常の連立方程式と同様に消去法を使って片方の文字を消去する。
まず、\(\left(D-3\right)\times\) 式 \(\left(1\right)\) より
$$\begin{cases}\left(D-2\right)\left(D-3\right)y+ \left(D-3\right)z=0 \cdot\cdot\cdot\left(1^{\prime} \right) \\\\2y+ \left(D-3\right) z=0 \cdot\cdot\cdot\left(2\right)\end{cases} $$
式 \(\left(1^{\prime}\right)-\) 式 \(\left(2\right)\) より
$$\{\left(D-2\right)\left(D-3\right)-2\}y=0$$
$$\left(D^{2}-5D+4\right)y=0$$
$$\left(D-1\right)\left(D-4\right)y=0$$
No.3 : 出来上がった \(y\) についての微分方程式を解く
微分方程式 \(\left(D-1\right)\left(D-4\right)y=0\) について特性方程式は同様な形で
$$ \left(\lambda-1\right)\left( \lambda -4\right)=0 $$
すなわち
$$\lambda=\begin{cases}1\\\\4\end{cases}$$
となり \(x\) の関数 \(y\) の一般解は定数 \(C_{1}\)、\(C_{2}\) を用いて
$$y=C_{1}\mathrm{e}^{x}+ C_{2}\mathrm{e}^{4x} $$
となる。
No.4 : もう片方の文字 \(y\) を消去
No.2~No.3 にて \(z\) を消去して \(y\) を求めたので、次は \(y\) を消去して \(z\) を求める。
まず、\(2\times\) 式 \(\left(1\right)\) 及び \(\left(D-2\right)\times\) 式 \(\left(2\right)\) より
$$\begin{cases}\left(D-2\right)\cdot 2y+2z=0 \cdot\cdot\cdot\left(1^{\prime\prime}\right) \\\\\left(D-2\right)\cdot 2y+ \left(D-2\right)\left(D-3\right)z=0 \cdot\cdot\cdot\left(2^{\prime\prime}\right)\end{cases} $$
式 \(\left(2^{\prime\prime}\right)-\) 式 \(\left(1^{\prime\prime}\right)\) より
$$\{\left(D-2\right)\left(D-3\right)-2\}z=0$$
$$\left(D^{2}-5D+4\right)z=0$$
$$\left(D-1\right)\left(D-4\right)z=0$$
No.5 : 出来上がった \(z\) についての微分方程式を解く
微分方程式 \(\left(D-1\right)\left(D-4\right)z=0\) について特性方程式は同様な形で
$$ \left(\lambda-1\right)\left( \lambda -4\right)=0 $$
すなわち
$$\lambda=\begin{cases}1\\\\4\end{cases}$$
となり \(x\) の関数 \(z\) の一般解は定数 \(D_{1}\)、\(D_{2}\) を用いて
$$z=D_{1}\mathrm{e}^{x}+ D_{2}\mathrm{e}^{4x} $$
となる。
No.6 : \(y\) と \(z\) を連立微分方程式に代入＆定数減らし
今 \(y\) は定数 \(C_{1}\) と \(C_{2}\)で書かれた関数で、\(z\) はまた別の定数 \(D_{1}\) と \(D_{2}\) で書かれた関数である。そのため \(y\) と \(z\) は独立した関数（互いに干渉しない関数）のように思えるが、連立方程式でつながりの関係がある以上何かしら共通のパラメータ（定数など）を持ってそうである。その部分を突き詰めていく。
連立微分方程式の第1式 「 \(y^{\prime}-2y+z=0\) 」 に先ほど求めた
$$\begin{cases}y=C_{1}\mathrm{e}^{x}+ C_{2}\mathrm{e}^{4x}\\\\z=D_{1}\mathrm{e}^{x}+ D_{2}\mathrm{e}^{4x}\end{cases}$$
を代入する。
すると \(y^{\prime}=C_{1}\mathrm{e}^{x}+ 4C_{2}\mathrm{e}^{4x}\) であることに注意して
$$\left(C_{1}\mathrm{e}^{x}+ 4C_{2}\mathrm{e}^{4x}\right)-2\left(C_{1}\mathrm{e}^{x}+ C_{2}\mathrm{e}^{4x}\right)+\left(D_{1}\mathrm{e}^{x}+ D_{2}\mathrm{e}^{4x}\right)=0$$
すなわち
$$\left(-C_{1}+D_{1}\right)\mathrm{e}^{x}+\left(2C_{1}+D_{2}\right) \mathrm{e}^{4x} =0 \cdot\cdot\cdot\left(*\right)$$
ここで式 \(\left(*\right)\) は \(x\) についての恒等式である。つまりは \(\mathrm{e}^{x}\) 及び \(\mathrm{e}^{4x}\) についての恒等式であるので
$$\begin{cases} -C_{1}+D_{1}=0\\\\ 2C_{2}+D_{2}=0 \end{cases}$$
$$\begin{cases} D_{1}=C_{1}\\\\ D_{2}=-2C_{2} \end{cases}$$
となり、\(z\) の定数係数 \(D_{1}\)、\(D_{2}\) は \(y\) の定数係数 \(C_{1}\)、\(C_{2}\) を使って表される。すなわち \(z\) は
\begin{eqnarray}z&=&D_{1}\mathrm{e}^{x}+ D_{2}\mathrm{e}^{4x}\\\\&=&C_{1}\mathrm{e}^{x}-2C_{2}\mathrm{e}^{4x} \end{eqnarray}
以上まとめると、連立微分方程式の解は
$$\begin{cases} y=C_{1}\mathrm{e}^{x}+ C_{2}\mathrm{e}^{4x} \\\\ z= C_{1}\mathrm{e}^{x}-2C_{2}\mathrm{e}^{4x} \end{cases}$$
となる。
もちろん連立微分方程式の第2式「 \(2y+z^{\prime}-3z=0\) 」に代入をした世界線でも同じ結果を得る。
試しに
$$\begin{cases}y=C_{1}\mathrm{e}^{x}+ C_{2}\mathrm{e}^{4x}\\\\z=D_{1}\mathrm{e}^{x}+ D_{2}\mathrm{e}^{4x}\end{cases}$$
を代入する。\(z^{\prime}=D_{1}\mathrm{e}^{x}+ 4D_{2}\mathrm{e}^{4x}\) であることに注意して
$$2\left(C_{1}\mathrm{e}^{x}+ C_{2}\mathrm{e}^{4x}\right)+\left(D_{1}\mathrm{e}^{x}+ 4D_{2}\mathrm{e}^{4x}\right)-3\left(D_{1}\mathrm{e}^{x}+ D_{2}\mathrm{e}^{4x}\right)=0$$
$$2\left(C_{1}-D_{1}\right)\mathrm{e}^{x}+ \left(2C_{2}+D_{2}\right) \mathrm{e}^{4x}=0$$
この式は \(\mathrm{e}^{x}\)、\(\mathrm{e}^{4x}\) についての恒等式であるので
$$\begin{cases} 2\left(C_{1}-D_{1}\right) =0\\\\ 2C_{2}+D_{2} =0 \end{cases}$$
$$\begin{cases} D_{1}=C_{1}\\\\ D_{2}=-2C_{2} \end{cases}$$
となる。すなわち連立微分方程式の解
$$\begin{cases} y=C_{1}\mathrm{e}^{x}+ C_{2}\mathrm{e}^{4x} \\\\ z= C_{1}\mathrm{e}^{x}-2C_{2}\mathrm{e}^{4x} \end{cases}$$
が得られ、これは第1式に代入した時と同じ解である。
すなわち、No.6 の代入は連立微分方程式のどちらの式に代入してもOKである。
例題
連立微分方程式
$$\begin{cases}y^{\prime}+z=\mathrm{e}^{x}\\\\y-z^{\prime}=\mathrm{e}^{-x}\end{cases}$$
を解け。
例題の解答
No.1 ： 微分演算子を使って微分方程式を書き直す
微分演算子 \(D\) を使って連立微分方程式を書き直すと
$$\begin{cases}Dy+z= \mathrm{e}^{x} \cdot\cdot\cdot\left(1\right)\\\\y-Dz= \mathrm{e}^{-x} \cdot\cdot\cdot\left(2\right)\end{cases}$$
No.2 : 片方の文字（ 今回は \(z\) ）を消去
消去法を使って片方の文字 \(z\) を消去する。
まず、\(D\times\) 式 \(\left(1\right)\) より
$$\begin{cases}D^{2}y+ Dz=D\{\mathrm{e}^{x}\} \cdot\cdot\cdot\left(1^{\prime}\right) \\\\y-Dz= \mathrm{e}^{-x}\cdot\cdot\cdot\left(2\right)\end{cases} $$
式 \(\left(1^{\prime}\right)+\) 式 \(\left(2\right)\) より
\begin{eqnarray}\left(D^{2}+1\right)y&=& D\{\mathrm{e}^{x}\}+ \mathrm{e}^{-x}\\\\ \left(D^{2}+1\right)y &=& \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x} \end{eqnarray}
No.3 : 出来上がった \(y\) についての微分方程式を解く
微分方程式 「 \(\left(D^{2}+1\right)y=\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\) 」 について、右辺が２つの指数関数の足し算となっており単純形ではない。よって解予想を使うことができないので逆演算子 \(\displaystyle\frac{1}{D}\) を登場させて解く手法を取る。
まず両辺を左から \(D^{2}+1\) で割り算すると
$$y=\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\{ \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x} \}$$
ここで次の公式
$$\displaystyle\frac{1}{D^{2}+\beta^{2}}f\left(x\right)=\displaystyle\frac{\sin{\beta x}}{\beta}\displaystyle\frac{1}{D}\{f\left(x\right)\cos{\beta x}\}-\displaystyle\frac{\cos{\beta x}}{\beta}\displaystyle\frac{1}{D}\{f\left(x\right)\sin{\beta x}\}$$
を用いて式変形を施すと
\begin{eqnarray}y&=&\displaystyle\frac{1}{D^{2}+1}\{ \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x} \}\\\\&=&\sin{x}\displaystyle\frac{1}{D}\{\left( \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x }\right)\cos{x}\}-\cos{x}\displaystyle\frac{1}{D}\{\left( \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x } \right)\sin{x}\}\\\\&=&\sin{x}\displaystyle\frac{1}{D}\{\mathrm{e}^{x}\cos{x}\}+\sin{x}\displaystyle\frac{1}{D}\{\mathrm{e}^{-x}\cos{x}\}-\cos{x}\displaystyle\frac{1}{D}\{\mathrm{e}^{x}\sin{x}\}-\cos{x}\displaystyle\frac{1}{D}\{\mathrm{e}^{-x }\sin{x}\} \end{eqnarray}
と計算される。ここで各不定積分は部分積分することで定数 \(c_{1}\)、\(c_{2}\)、\(c_{3}\)、\(c_{4}\) を使って
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{1}{D}\{\mathrm{e}^{x}\cos{x}\}&=&\int\{\mathrm{e}^{x}\cos{x}\}dx=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}\left(\cos{x}+\sin{x}\right)+c_{1}\\\\\displaystyle\frac{1}{D}\{\mathrm{e}^{-x}\cos{x}\}&=&\int\{\mathrm{e}^{-x}\cos{x}\}dx=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}\left(\sin{x}-\cos{x}\right)+c_{2}\\\\\displaystyle\frac{1}{D}\{\mathrm{e}^{x}\sin{x}\}&=&\int\{\mathrm{e}^{x}\sin{x}\}dx=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}\left(\sin{x}-\cos{x}\right)+c_{3}\\\\\displaystyle\frac{1}{D}\{\mathrm{e}^{-x}\sin{x}\}&=&\int\{\mathrm{e}^{-x}\sin{x}\}dx=-\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}\left(\sin{x}+\cos{x}\right)+c_{4}\end{eqnarray}
と求まり、これを代入すると次式を得る。
\begin{eqnarray}y=\sin{x}\cdot\left[\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}\left(\cos{x}+\sin{x}\right)+c_{1}\right]+\sin{x}\cdot\left[\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}\left(\sin{x}-\cos{x}\right)+c_{2}\right]\hspace{50px}\\\\\hspace{10px}-\cos{x}\cdot\left[\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}\left(\sin{x}-\cos{x}\right)+c_{3}\right]-\cos{x}\cdot\left[-\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}\left(\sin{x}+\cos{x}\right)+c_{4}\right]\end{eqnarray}
式をもう少し整理すると
$$y=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+\displaystyle\frac{1}{2}c_{1}\mathrm{e}^{x}\sin{x}-\displaystyle\frac{1}{2}c_{3}\mathrm{e}^{x}\cos{x}+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+\displaystyle\frac{1}{2}c_{2}\mathrm{e}^{-x}\sin{x}-\displaystyle\frac{1}{2}c_{4}\mathrm{e}^{-x}\cos{x}$$
定数について、\(C_{1}=\displaystyle\frac{1}{2}c_{1}\)、\(C_{3}=-\displaystyle\frac{1}{2}c_{3}\)、\(C_{2}=\displaystyle\frac{1}{2}c_{2}\)、\(C_{4}=-\displaystyle\frac{1}{2}c_{4}\) と置き換えると
$$y=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+C_{1}\mathrm{e}^{x}\sin{x}+C_{3}\mathrm{e}^{x}\cos{x}+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+C_{2}\mathrm{e}^{-x}\sin{x}+C_{4}\mathrm{e}^{-x}\cos{x}$$
No.4 : もう片方の文字 \(y\) を消去
次は \(y\) を消去して \(z\) を求める。
まず、\(D\times\) 式 \(\left(2\right)\) より
$$\begin{cases}Dy+ z=\mathrm{e}^{x} \cdot\cdot\cdot\left(1\right) \\\\Dy-D^{2}z= D\{\mathrm{e}^{-x}\}\cdot\cdot\cdot\left(2^{\prime\prime}\right)\end{cases} $$
式 \(\left(1\right)-\) 式 \(\left(2^{\prime\prime}\right)\) より
\begin{eqnarray}\left(1+D^{2}\right)z&=& \mathrm{e}^{x}-D\{\mathrm{e}^{-x}\}\\\\ \left(D^{2}+1\right)z &=& \mathrm{e}^{x}- \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\\\\\left(D^{2}+1\right)z &=& \mathrm{e}^{x}+ \mathrm{e}^{-x} \end{eqnarray}
No.5 : 出来上がった \(z\) についての微分方程式を解く
微分方程式 「 \(\left(D^{2}+1\right)z=\mathrm{e}^{x} +\mathrm{e}^{-x}\) 」 を解くのだが、先ほどの \(y\) についての微分方程式と全く同じ形をした微分方程式であるので同様の解を持つはずである。
従って定数 定数 \(D_{1}\)、\(D_{2}\)、\(D_{3}\)、\(D_{4}\) を使って \(z\) は
$$z=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+D_{1}\mathrm{e}^{x}\sin{x}+D_{3}\mathrm{e}^{x}\cos{x}+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+D_{2}\mathrm{e}^{-x}\sin{x}+D_{4}\mathrm{e}^{-x}\cos{x}$$
と求まる。
No.6 : \(y\) と \(z\) を連立微分方程式に代入＆定数減らし
先ほど求めた \(y\) 及び \(z\) をまとめると
$$\begin{cases}y=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+C_{1}\mathrm{e}^{x}\sin{x}+C_{3}\mathrm{e}^{x}\cos{x}+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+C_{2}\mathrm{e}^{-x}\sin{x}+C_{4}\mathrm{e}^{-x}\cos{x}\\\\z=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+D_{1}\mathrm{e}^{x}\sin{x}+D_{3}\mathrm{e}^{x}\cos{x}+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+D_{2}\mathrm{e}^{-x}\sin{x}+D_{4}\mathrm{e}^{-x}\cos{x}\end{cases}$$
となる。ここで、\(y\) の1回微分は
\begin{eqnarray}y^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+\left(C_{1}\mathrm{e}^{x}\sin{x}+C_{1}\mathrm{e}^{x}\cos{x}\right)+\left(C_{3}\mathrm{e}^{x}\cos{x}-C_{3}\mathrm{e}^{x}\sin{x}\right)\hspace{100px}\\\\-\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+\left(-C_{2}\mathrm{e}^{-x}\sin{x}+C_{2}\mathrm{e}^{-x}\cos{x}\right)+\left(-C_{4}\mathrm{e}^{-x}\cos{x}-C_{4}\mathrm{e}^{-x}\sin{x}\right)\end{eqnarray}
となる。以上を連立微分方程式の第1式 「 \(y^{\prime}+z=\mathrm{e}^{x}\) 」 に代入すると
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+\left(C_{1}\mathrm{e}^{x}\sin{x}+C_{1}\mathrm{e}^{x}\cos{x}\right)+\left(C_{3}\mathrm{e}^{x}\cos{x}-C_{3}\mathrm{e}^{x}\sin{x}\right)-\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+\left(-C_{2}\mathrm{e}^{-x}\sin{x}+C_{2}\mathrm{e}^{-x}\cos{x}\right)+\left(-C_{4}\mathrm{e}^{-x}\cos{x}-C_{4}\mathrm{e}^{-x}\sin{x}\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+D_{1}\mathrm{e}^{x}\sin{x}+D_{3}\mathrm{e}^{x}\cos{x}+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+D_{2}\mathrm{e}^{-x}\sin{x}+D_{4}\mathrm{e}^{-x}\cos{x}=\mathrm{e}^{x}\end{eqnarray}
と長い長い数式となるが計算して整理すると
\begin{eqnarray}\mathrm{e}^{x}\hspace{180px}\\\\+\left(C_{1}+C_{3}+D_{3}\right)\mathrm{e}^{x}\cos{x}\\\\+\left(C_{1}-C_{3}+D_{1}\right)\mathrm{e}^{x}\sin{x}\\\\+\left(C_{2}-C_{4}+D_{4}\right)\mathrm{e}^{-x}\cos{x}\\\\+\left(-C_{2}-C_{4}+D_{2}\right)\mathrm{e}^{-x}\sin{x}\\\\=\mathrm{e}^{x}\end{eqnarray}
この式は \(x\) についての恒等式である。両辺見比べてみると左辺の定数がくっついた第2項~第5項までは \(0\) となるはず。すなわち、定数係数部分が \(0\) となるはずなので
$$\begin{cases}C_{1}+C_{3}+D_{3}=0\\\\C_{1}-C_{3}+D_{1}=0\\\\C_{2}-C_{4}+D_{4}=0\\\\-C_{2}-C_{4}+D_{2}=0\end{cases}$$
\(D=\) となるよう移項すると
$$\begin{cases}D_{3}=-\left(C_{1}+C_{3}\right)\\\\D_{1}=C_{3}-C_{1}\\\\D_{4}=C_{4}-C_{2}\\\\D_{2}=C_{2}+C_{4}\end{cases}$$
となり、\(z\) の定数係数 \(D_{1}\)、\(D_{2}\)、\(D_{3}\)、\(D_{4}\) は \(y\) の定数係数 \(C_{1}\)、\(C_{2}\)、\(C_{3}\)、\(C_{4}\) を使って表される。すなわち \(z\) は
\begin{eqnarray}z=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+\left(C_{3}-C_{1}\right)\mathrm{e}^{x}\sin{x}-\left(C_{1}+C_{3}\right)\mathrm{e}^{x}\cos{x}\hspace{60px}\\\\+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+\left(C_{2}+C_{4}\right)\mathrm{e}^{-x}\sin{x}+\left(C_{4}-C_{2}\right)\mathrm{e}^{-x}\cos{x}\end{eqnarray}
以上まとめると、連立微分方程式の解は
$$\begin{cases}y=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+C_{1}\mathrm{e}^{x}\sin{x}+C_{3}\mathrm{e}^{x}\cos{x}+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+C_{2}\mathrm{e}^{-x}\sin{x}+C_{4}\mathrm{e}^{-x}\cos{x}\\\\z=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}+\left(C_{3}-C_{1}\right)\mathrm{e}^{x}\sin{x}-\left(C_{1}+C_{3}\right)\mathrm{e}^{x}\cos{x}+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+\left(C_{2}+C_{4}\right)\mathrm{e}^{-x}\sin{x}+\left(C_{4}-C_{2}\right)\mathrm{e}^{-x}\cos{x}\end{cases}$$
となる。
練習問題
練習問題1
$$\begin{cases}y^{\prime}+z=0\\\\y-z^{\prime}=0\end{cases}$$
練習問題2
$$\begin{cases}y^{\prime\prime}+y+z=0\\\\y+z^{\prime\prime}+z=0\end{cases}$$
練習問題3
$$\begin{cases}y^{\prime}=y-z\\\\z^{\prime}=2y-z\end{cases}$$
練習問題4
$$\begin{cases}y^{\prime}=z\\\\z^{\prime}=-y+\cos{x}\end{cases}$$
練習問題5
$$\begin{cases}y^{\prime}=y+2z+\mathrm{e}^{x}\\\\z^{\prime}=2y-2z+\mathrm{e}^{-x}\end{cases}$$
ひとこと
連立微分方程式も通常の連立方程式と同じように片方の文字を消去して文字の種類を減らすことで解くことができる。
1文字の微分方程式に直すことができたら、右辺の様子に応じて逆演算子を使うかどうか判断しよう。右辺が「数字」「べき関数」「三角関数１つ」「指数関数１つ」であれば逆演算子を使わずとも解くことができる。
