3階以上の微分方程式➁（シンプル解法）

\(y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+6y=0\) は

$$\left(\lambda^{2}-5\lambda+6\right)y=0$$

$$\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-3\right)=0$$

より、パターン１の因数を持つので、基本解は \(\mathrm{e}^{2x}\)、\(\mathrm{e}^{3x}\) であり、これらを1次結合させると一般解

$$y=C_{1}\mathrm{e}^{2x}+C_{2}\mathrm{e}^{3x}$$

を得る。

\(y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=\mathrm{e}^{2x}\) は

特性方程式を解くと

$$\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-3\right)=0$$

$$\lambda=1,3$$

従って、斉次方程式 \(y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=0\) の一般解は

$$y_{0}=C_{1}\mathrm{e}^{x}+C_{2}\mathrm{e}^{3x}$$

ここで、右辺の指数関数 \(\mathrm{e}^{2x}\) から解となる関数の形は 

と予想できる。\(x\) で1回、2回微分すると

となる。元の微分方程式に代入して

$$\left(4C-8C+3C\right)\mathrm{e}^{2x}= \mathrm{e}^{2x} $$

$$C=-1$$

従って \(y_{p}=-\mathrm{e}^{2x}\)

最終的に求める真の解は一般解 \(y_{0}\) と特殊解 \(y_{p}\) の和であるので

\begin{eqnarray}y&=&y_{0}+y_{p}\\\\&=&C_{1}\mathrm{e}^{x}+C_{2}\mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{2x}\end{eqnarray}

\(y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime}-2y=\mathrm{e}^{-2x}\) を解け。

$$y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime}-2y=0\cdot\cdot\cdot\left(A\right)$$

$$\lambda^{3}-3\lambda-2=0$$

$$\left( \lambda +1\right)\left( \lambda ^{2}- \lambda -2\right)=0$$

$$ \left( \lambda +1\right) \left( \lambda +1\right) \left( \lambda -2\right) =0$$

$$ \left( \lambda +1\right)^{2} \left( \lambda -2\right)=0$$

$$y_{0}=\left(C_{1}+C_{2}x\right)\mathrm{e}^{-x}+C_{3}\mathrm{e}^{2x}$$

$$\left(4C\mathrm{e}^{-2x}\right)-3\cdot\left(-2C\mathrm{e}^{-2x}\right)-2\cdot\left(C\mathrm{e}^{-2x}\right)=\mathrm{e}^{-2x}$$

$$\left(4C+6C-2C\right)\mathrm{e}^{-2x}=\mathrm{e}^{-2x}$$

$$8C=1$$

$$C=\displaystyle\frac{1}{8}$$

\begin{eqnarray}y&=&y_{0}+y_{p}\\\\&=&\left(C_{1}+C_{2}x\right)\mathrm{e}^{-x}+C_{3}\mathrm{e}^{2x}+\displaystyle\frac{1}{8}\mathrm{e}^{-2x}\end{eqnarray}

練習問題1

\(y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=0\) を解け。

練習問題2

\(y^{\prime\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+1=\sin{x}\) を解け。