行列の対角化｜単位の密林

例題を解きながら行列の対角化の方法をわかりやすく解説します。行列の対角化は行列の冪乗を考えるための重要な変形です。

行列の対角化とは？
対角化のメリット
対角化の具体的方法
例題
まとめ

行列の対角化とは？

行列の対角化とは、正方行列 $A$ に対し適当な正則行列（逆行列をもつ行列） $P$ を見つけて $P^{-1}AP$ が対角行列になるようにすることである。

（例）

$A=\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}$ のとき、

$$P=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 3\\1 & 0 & 2\end{pmatrix}$$

とおくと、

$$\begin{align*}P^{-1}AP&=\begin{pmatrix}0 & -2 & 3 \\1 & -2 & 3\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 3\\1 & 0 & 2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\color{red}{2} & 0 & 0 \\0 & \color{red}{3} & 0\\0 & 0 & \color{red}{3}\end{pmatrix}\end{align*}$$

P^(-1)APとは何なのか

$P^{-1}AP$ は、正方行列 $A$ に相似な行列と呼ばれる。このことを以下で説明する。

$$\vec y=A\vec x\cdot\cdot\cdot(1)$$

の両辺の左に適当な逆行列 $P^{-1}$ をかけると、

$$P^{-1}\vec y=P^{-1}A\vec x$$

となる。ここで、左辺 $P^{-1}\vec y$ の形を右辺にも無理矢理作ると、

$$P^{-1}\vec y=(P^{-1}AP)(P^{-1}\vec x)$$

となる。$P^{-1}\vec y=\vec y_0$、$P^{-1}\vec x=\vec x_0$ 、$P^{-1}AP=A_0$とすると、

$$\vec y_0=A_0\vec x_0\cdot\cdot\cdot(2)$$

となり、(2)式は(1)式と同じ構図になっている。すなわち、$P^{-1}AP$ は $A$ に同等な表現なのである。

対角化のメリット

正方行列 $A$ ではなく、対角化した行列 $P^{-1}AP$ を考える方が有効な場合がある。

対角行列は計算が単純になる。
対角行列は $n$ 乗の計算が行える。

行列を対角化することで、複雑な行列の計算をシンプルにすることができる！

対角化の具体的方法

正方行列 $A$ の対角化をするための正則行列 $P$ は、$A$ の全ての固有ベクトルを求めて横に並べたものを準備すればよい。

その際、各々の固有ベクトルが一次独立であり、個数が行列のサイズと等しくなっている必要がある。（足りない場合、 $P^{-1}$ を計算できない）

対角化の原理

$P^{-1}AP$ が対角行列だとすると、

$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda_1 & \cdots & 0 \\\vdots &\ddots & \vdots\\0 & \cdots & \lambda_n\end{pmatrix}$$

すなわち、両辺の左から $P$ を掛けて、

$$AP=P\begin{pmatrix}\lambda_1 & \cdots & 0 \\\vdots &\ddots & \vdots\\0 & \cdots & \lambda_n\end{pmatrix}$$

と書ける。ここで、$P=\begin{pmatrix}\vec x_1&\cdots&\vec x_n\end{pmatrix}$ とおくと、

$$A\begin{pmatrix}\vec x_1&\cdots&\vec x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec x_1&\cdots&\vec x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 & \cdots & 0 \\\vdots &\ddots & \vdots\\0 & \cdots & \lambda_n\end{pmatrix}$$

となる。これを変形して、

$$\begin{pmatrix}A\vec x_1&\cdots&A\vec x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_1\vec x_1&\cdots&\lambda_n\vec x_n\end{pmatrix}$$

であり、これは正方行列 $A$ の $n$ 個の固有ベクトル $\vec x_1,\cdots,\vec x_n$ （一次独立）とそれに対応する固有値 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$（重複を含む）になる。

例題

次の行列を対角化せよ。

$$A=\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}$$

No.1：行列 $A$ の固有ベクトルを求める

$$|A-\lambda E|=-(\lambda-2)(\lambda-3)^2$$

固有値：2、固有ベクトル：$c_1\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ （$c_1$：0でない定数）

固有値：3、固有ベクトル：$c_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$ （$c_1,c_2$：同時には0でない定数）

行列の固有値と固有ベクトル例題を解きながら行列の固有値と固有ベクトルを求める方法をステップごとにわかりやすく解説します。また、行列の固有値を固有ベクトルの定義と意味を具体例を交えて解説します。...

固有値2の固有ベクトルの数は1個、

固有値3の固有ベクトルの数は2個、

であり、1個+2個＝3個で行列のサイズと同じなので、この行列は対角化可能である！

No.2：全ての固有ベクトルを横に並べた行列 $P$ を用意する

固有ベクトルの大きさは何でも良い。（対角化の結果は同じになる）

ここでは、係数を1とした $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ 、$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ 、$\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$ を並べる。

$$P=\left(\begin{array}{c|c|c}-1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 3\\1 & 0 & 2\end{array}\right)$$

固有値3のように固有ベクトルが2つある場合は2つとも書き並べる

No.3：$P^{-1}AP$ を計算する

$$\begin{align*}P^{-1}AP&=\begin{pmatrix}0 & -2 & 3 \\1 & -2 & 3\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 3\\1 & 0 & 2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}\end{align*}$$

$P^{-1}AP$ の対角成分は、No.2で並べた固有ベクトルに対応する固有値の順に現れる。

実際、No.2では $\lambda=\color{red}{2},\color{blue}{3},\color{blue}{3}$ に対応する固有ベクトルを順に並べているので $\color{red}{2},\color{blue}{3},\color{blue}{3}$ の順になっている。

$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\color{red}{2} & 0 & 0 \\0 & \color{blue}{3} & 0\\0 & 0 & \color{blue}{3}\end{pmatrix}$$

また、対角化の結果は1通りではない！（固有ベクトルの順番を変えると対角成分の順番も変わる）