連立一次方程式②(逆行列)

例題を解きながら逆行列を用いて連立一次方程式を解く方法をわかりやすく解説します。

逆行列を用いた連立一次方程式の解法
係数行列が逆行列をもつ条件
逆行列を用いるメリット
例題
まとめ

逆行列を用いた連立一次方程式の解法

正方行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ とは、

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$（単位行列）

を満たす行列である。

連立一次方程式の係数行列 $A$ が逆行列 $A^{-1}$ をもつとき、連立一次方程式の解 $\vec x$ は次の方法で求めることができる。

$$A\vec x=\vec b$$

両辺の左から $A^{-1}$ を掛けて、

$$\begin{align}&&\color{red}{A^{-1}}A\vec x&=\color{red}{A^{-1}}\vec b\\\Leftrightarrow&& (A^{-1}A)\vec x&=A^{-1}\vec b\\\Leftrightarrow&& E\vec x&=A^{-1}\vec b\\\Leftrightarrow&& \vec x&=A^{-1}\vec b\end{align}$$

すなわち、

$$\begin{eqnarray}&A\vec x&=&\vec b\\\Leftrightarrow\; & \vec x&=&\color{red}{A^{-1}}\vec b\end{eqnarray}$$

イメージ的には、両辺に逆数の掛け算をする感覚に近い。

$$\begin{eqnarray}&ax&=&b\\\Leftrightarrow\; & x&=&\color{red}{a^{-1}}b\end{eqnarray}$$

係数行列が逆行列をもつ条件

連立一次方程式の係数行列 $A$ が逆行列 $A^{-1}$ をもつかどうかは以下のいずれかの方法で判別できる。

逆行列をもつ条件

$A$ が $n$ 次正方行列のとき、

$A$ の簡約化が $n$ 次の単位行列 $E$ になる場合（$\mathrm{rank}\:A=n$）
$A$ の行列式が $|A|\neq 0$ を満たす場合

また、連立一次方程式は、係数行列と拡大係数行列の階数によって解の種類が変化する。

連立一次方程式と解の種類

$n$ 変数の連立一次方程式 $A\vec x = \vec b$ とし、拡大係数行列を $[A| \vec b]$ で表す。

$\mathrm{rank}\:A=\mathrm{rank}\:[A| \vec b]=n\iff$ただ1つの解 $\vec x$
$\mathrm{rank}\:A=\mathrm{rank}\:[A| \vec b]<n\iff$不定解 $\vec x$
$\mathrm{rank}\:A<\mathrm{rank}\:[A| \vec b]\iff$解なし

これらの事実から、逆行列で連立一次方程式の解 $\vec x$ を求めるのは、ただ1つの解が求まる場合のみに限られることがわかる。

逆行列を用いる解法では、不定解を求められない！

逆行列を用いるメリット

連立一次方程式の解を求める方法には、掃き出し法があった。

逆行列①(簡約化)例題を解きながら逆行列を簡約化を用いて求める方法をコツを交えながらわかりやすく解説します。逆行列は行列の逆数に相当する概念であり、定義とその求め方の両方を理解しておくことが大切です。...

一方、掃き出し法よりも逆行列を用いる方法が有効な場合がある。

$A\vec x=\vec b$ の係数行列 $A$ が固定で、 $\vec b$ を変えて複数の連立一次方程式を解く場合
連立一次方程式の解を用いる証明問題を解く場合

$\vec b$ を変えて複数の連立一次方程式を解く場合は逆行列を使おう！

例題

次の連立一次方程式を解け。

$$\begin{cases}\phantom{+{}}2x-2y-\phantom{1}z=4\\\phantom{+1}x-2y-2z=1\\-\phantom{1}x+3y+4z=1\end{cases}$$

No.1：連立一次方程式を行列の方程式で表す

$A=\begin{pmatrix}2 & -2 & -1 \\1 & -2 & -2\\-1 & 3 & 4\end{pmatrix}$、$\vec x =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$、$\vec b=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}$ とおくと、

$$\begin{cases}\phantom{+{}}2x-2y-\phantom{1}z=4\\\phantom{+1}x-2y-2z=1\\-\phantom{1}x+3y+4z=1\end{cases}$$

$$\Leftrightarrow\begin{pmatrix}2 & -2 & -1 \\1 & -2 & -2\\-1 & 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}$$

$A\vec x = \vec b$ の形に変形する。

No.2：係数行列の逆行列を求める

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -5 & -2 \\2 & -7 & -3\\-1 & 4 & 2\end{pmatrix}$$

逆行列を求める方法には以下の2つがある。

No.3：逆行列を方程式の両辺に左から掛ける

$$\begin{pmatrix}2 & -2 & -1 \\1 & -2 & -2\\-1 & 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}$$

$$\Leftrightarrow\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -5 & -2 \\2 & -7 & -3\\-1 & 4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}$$

No.4：右辺の掛け算を行う

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -5 & -2 \\2 & -7 & -3\\-1 & 4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$$