ベクトル関数の積分
ベクトル関数 の微分計算は成分になっている関数を微分してあげるだけだった。
ベクトル関数 の積分も同様に各成分関数を積分してあげるだけでよい。
すなわち
\begin{eqnarray}\int\pmb{A}\left(t\right)dt&=&\left(\int x\left(t\right)dt, \int y\left(t\right)dt, \int z\left(t\right)dt\right)\\\\&=& \left(\int x\left(t\right)dt\right)\pmb{i}+\left(\int y\left(t\right)dt\right)\pmb{j}+\left(\int z\left(t\right)dt\right)\pmb{k}\end{eqnarray}
例えば ベクトル関数 \(\pmb{A}\left(t\right)=\left(2t+1\right)\pmb{i}+\left(6t^2\right)\pmb{j}+\left(\sin{t}\right)\pmb{k}\) を変数 \(t\) について積分すると
\begin{eqnarray}\int\pmb{A}dt&=& \left(\int\left(2t+1\right)dt\right)\pmb{i}+\left(\int\left(6t^{2}\right)dt\right)\pmb{j}+\left(\int\left(\sin{t}\right)dt\right)\pmb{k}\\\\&=&\left(t^{2}+t\right)\pmb{i}+\left(2t^{3}\right)\pmb{j}-\left(\cos{t}\right)\pmb{k}\end{eqnarray}
となる。積分定数をつける必要はない
定積分についても同様に
\begin{eqnarray}\int^{b}_{a}\pmb{A}\left(t\right)dt&=&\left(\int^{b}_{a} x\left(t\right)dt, \int^{b}_{a} y\left(t\right)dt, \int^{b}_{a} z\left(t\right)dt\right)\\\\&=& \left(\int^{b}_{a} x\left(t\right)dt\right)\pmb{i}+\left(\int^{b}_{a} y\left(t\right)dt\right)\pmb{j}+\left(\int^{b}_{a} z\left(t\right)dt\right)\pmb{k}\end{eqnarray}
と、各成分関数をおおもとの積分範囲で定積分してあげるだけでよい。
ベクトル関数の積分公式・性質
\(\pmb{A}\left(t\right)\)、\(\pmb{B}\left(t\right)\)、\(\pmb{C}\left(t\right)\) を ベクトル関数 、 \(\lambda\left(t\right)\) を スカラー関数 、\(k\) を定数とするとき、ベクトル関数の積分には次の性質がある。
- \(\displaystyle\int\left(\color{red}{\pmb{A}}+\color{blue}{\pmb{B}}\right)dt=\displaystyle\int\color{red}{\pmb{A}}dt+\displaystyle\int\color{blue}{\pmb{B}}dt\) (積分の分配)
- \(\displaystyle\int k\left(\color{red}{\pmb{A}}\right)dt=k\displaystyle\int\left(\color{red}{\pmb{A}}\right)dt\) (定数はじき出し)
- \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{d\color{orange}{\lambda}}{dt}\color{red}{\pmb{A}}dt=\color{orange}{\lambda}\color{red}{\pmb{A}}-\displaystyle\int\color{orange}{\lambda}\displaystyle\frac{d\color{red}{\pmb{A}}}{dt}dt\) (スカラー関数の部分積分)
- \(\displaystyle\int\color{orange}{\lambda}\displaystyle\frac{d\color{red}{\pmb{A}}}{dt}dt=\color{orange}{\lambda}\color{red}{\pmb{A}}-\int\displaystyle\frac{d\color{orange}{\lambda}}{dt}\displaystyle\color{red}{\pmb{A}}dt\) (ベクトル関数の部分積分)
- \(\displaystyle\int\color{red}{\pmb{A}}\cdot\displaystyle\frac{d\color{blue}{\pmb{B}}}{dt}dt=\color{red}{\pmb{A}}\cdot\color{blue}{\pmb{B}}-\int\displaystyle\frac{d\color{red}{\pmb{A}}}{dt}dt\cdot\color{blue}{\pmb{B}}\) (内積版の部分積分)
- \(\displaystyle\int\color{red}{\pmb{A}}\times\displaystyle\frac{d\color{blue}{\pmb{B}}}{dt}dt=\color{red}{\pmb{A}}\times\color{blue}{\pmb{B}}-\int\displaystyle\frac{d\color{red}{\pmb{A}}}{dt}dt\times\color{blue}{\pmb{B}}\) (外積版の部分積分)
性質⑤、⑥については 部分積分 が 内積 や 外積 についても通用することを意味する。
例題
\(\pmb{r}\) をベクトル関数とするとき、次の積分を簡単にせよ。
$$\int\pmb{r}\times\displaystyle\frac{d^{2}\pmb{r}}{dt^{2}}dt$$
例題の解答
性質⑥の 外積版の部分積分 を適用する。
\begin{eqnarray}\int\pmb{r}\times\displaystyle\frac{d^{2}\pmb{r}}{dt^{2}}dt&=&\int\pmb{r}\times\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}\right)dt\\\\&=&\pmb{r}\times\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}-\int\left(\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}\times\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}\right)dt\end{eqnarray}
ここで、自身同士の 外積 は 0 であるので、
$$\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}\times\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}=\pmb{0}$$
となる。よって次式を得る。
\begin{eqnarray}\int\pmb{r}\times\displaystyle\frac{d^{2}\pmb{r}}{dt^{2}}dt&=&\pmb{r}\times\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}-\int\left(\pmb{0}\ \right)dt\end{eqnarray}
零ベクトルの積分は定数 \(c_{1}\)、\(c_{2}\)、\(c_{3}\) を用いて
\begin{eqnarray}\int\pmb{0}\ dt&=&\int\left(0,0,0\right)dt\\\\&=&\left(c_{1},c_{2},c_{3}\right)\\\\&=&\pmb{C}\end{eqnarray}
と書ける。ここで、\(c_{1}\)、\(c_{2}\)、\(c_{3}\)を成分とした定数ベクトル \(\pmb{C}=\left(c_{1},c_{2},c_{3}\right)\) を設定した。
先程の式に適用すると
$$\int\pmb{r}\times\displaystyle\frac{d^{2}\pmb{r}}{dt^{2}}dt=\pmb{r}\times\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}-\pmb{C}$$
練習問題
\(\pmb{r}\) をベクトル関数とするとき、次の積分を簡単にせよ。
$$\int\left(\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}-\displaystyle\frac{dr}{dt}\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r^{2}}\right)dt$$
まとめ
・ベクトル関数 の積分は成分となる各関数を積分してあげればいい。
例えば、ベクトル関数
$$\pmb{A}\left(t\right)=\left(8t^{3}\right)\pmb{i}+\left(2t+3\right)\pmb{j}+\left(\cos{t}\right)\pmb{k}$$
を積分すると
\begin{eqnarray}\int\pmb{A}\left(t\right)&=&\int\{\left(8t^{3}\right)\pmb{i}+\left(2t+3\right)\pmb{j}+\left(\cos{t}\right)\pmb{k}\}dt\\\\&=&\int\left(\ 8t^{3}\right)\pmb{i}dt+\int\left(2t+3\right)\pmb{j}dt+\int\left(\cos{t}\right)\pmb{k}dt\}\\\\&=&2t^{4}\pmb{i}+t^{2}\pmb{j}+\sin{t}\pmb{k}\end{eqnarray}
となる。
・ベクトル関数 の定積分についても、成分となる各関数を 定積分 してあげればいい。
例えば、先程のベクトル関数
$$\pmb{A}\left(t\right)=\left(8t^{3}\right)\pmb{i}+\left(2t+3\right)\pmb{j}+\left(\cos{t}\right)\pmb{k}$$
を積分範囲 \(\left[\ \displaystyle\frac{\pi}{2},\ \pi\right]\) で 定積分 してあげると
\begin{eqnarray}\int^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\pmb{A}\left(t\right)&=&\int^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\{\left(8t^{3}\right)\pmb{i}+\left(2t+3\right)\pmb{j}+\left(\cos{t}\right)\pmb{k}\}dt\\\\&=&\left[2t^{4}\right]^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\pmb{i}+\left[t^{2}\right]^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\pmb{j}+\left[\sin{t}\right]^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\pmb{k}\\\\&=&\left[2{\pi}^{4}-2\cdot\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)^{4}\right]\pmb{i}+\left[{\pi}^{2}-\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)^{2}\right]\pmb{j}+\left[\sin{\pi}-\sin{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\right]\pmb{k}\\\\&=&2{\pi}^{4}\left(1-\displaystyle\frac{1}{16}\right)\pmb{i}+{\pi}^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{4}\right)\pmb{j}+\left(0-1\right)\pmb{k}\\\\&=&\left(\displaystyle\frac{15}{8}{\pi}^{4}\right)\pmb{i}+\left(\displaystyle\frac{3}{4}{\pi}^{2}\right)\pmb{j}-\pmb{k}\end{eqnarray}
となる。
