曲面と法線ベクトル

曲面とは
接平面と法線ベクトル
例題
例題の解答
練習問題
まとめ

曲面とは

1変数のベクトル（関数）が描く軌跡は曲線であった。

一方、2変数のベクトル（関数）が描く軌跡は曲面である。

例えば、次の2変数ベクトル関数の曲面を考えてみよう。

$$\pmb{r}=\sin{u}\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\cos{u}\ \color{green}{\pmb{k}}\ \ \ \ \ (\ 0\leq u\leq \pi)$$

各成分について

\begin{eqnarray}x\left(u,v\right)&=&\sin{u}\cos{v}\\\\y\left(u,v\right)&=&\sin{u}\sin{v}\\\\z\left(u,v\right)&=&\cos{u}\end{eqnarray}

である。ここから媒介変数 $u$、$v$ を消去していく。

$x$ 成分と $y$ 成分は共に $\sin{u}$ を因数として持っており、それぞれ $\cos{v}$ 、$\sin{v}$ を有している。

そのため、$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$ が使えそうだなと判断して、この2成分の二乗和で計算できそうだなと考えられる。

\begin{eqnarray}x^{2}+y^{2}&=&\sin^{2}{u}\cos^{2}{v}+\sin^{2}{u}\sin^{2}{v}\\\\&=&\sin^{2}{u}\left(\cos^{2}{v}+\sin^{2}{v}\right)\\\\&=&\sin^{2}{u}\cdot 1\\\\&=&\sin^{2}{u}\end{eqnarray}

となり、$\sin{u}$ の二乗へと変形された。

一方、$z=\cos{u}$ であるので、再度 $\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$ は使えそうであり

\begin{eqnarray}\left(x^{2}+y^{2}\right)+z^{2}&=&\sin^{2}{u}+\cos^{2}{u}\\\\&=&1\end{eqnarray}

すなわち、先ほどのベクトル関数

$$\pmb{r}=\sin{u}\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\cos{u}\ \color{green}{\pmb{k}}\ \ \ \ \ (0\leq u\leq 2\pi\ ,\ 0\leq v\leq 2\pi$$

は $u$、$v$ を消去して表現すると次の式になる。

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$$

これは正しく半径 $1$ の 球表面 であり、2変数ベクトル関数が曲面（曲がった面）を意味するものだと確認できる。

接平面と法線ベクトル

曲線に沿った直線を接線と呼ぶように、曲面に沿った平面を 接平面 と呼ぶ。

また、接平面 と垂直なベクトルを 法線ベクトル と呼ぶ。法線ベクトルは接平面と垂直であることから、曲面に対して垂直なベクトルであることがわかる。

法線ベクトル を求めるには、まず曲面の式 $\pmb{r}$ を2変数 $u$、$v$ それぞれで偏微分してあげることから始まる。

求まった偏微分 $\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial u}$、$\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial v}$ はそれぞれ接平面上の互いに垂直なベクトルを示す。

すなわち、面に平行な2つのベクトル $\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial u}$、$\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial v}$ どうしで外積をとることで、法線ベクトル（面に垂直な方向のベクトル）を求めることができる。

例えば、曲面 $\pmb{r}=u\ \color{red}{\pmb{i}}+v\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(1-u^{2}-v^{2}\right)\ \color{green}{\pmb{k}}$ の法線ベクトルを求めてみよう。

この曲線は次のような 放物面（パラボラアンテナ形）である。

次の手順に沿うことで 法線ベクトル を求めることができる。

No.1 : 曲面の式を $u$、$v$ で偏微分する。

まず、曲面の式を $u$、$v$ で 偏微分 すると

$$\color{magenta}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial u}}=\ \color{red}{\pmb{i}}-2u\ \color{green}{\pmb{k}}$$

$$\color{blue}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial v}}=\ \color{blue}{\pmb{j}}-2v\ \color{green}{\pmb{k}}$$

となる。

この2つの動径を偏微分したベクトルは、先述の通り 放物面 に 接する平面 上の 互いに垂直なベクトル である。

No.2 : 求めた $\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial u}$ と $\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial v}$ どうしで外積をとる

２つの偏微分ベクトルどうしで外積をとると

となる。外積計算については下記事参照。

ベクトルの外積外積の計算方法、性質の紹介と共に外積がどんなところで役立っているかを解説する。...

２つの 偏微分ベクトル は 接平面 上のベクトルなので、これらの外積は接平面と垂直な方向となり、下図のように 接平面 と 垂直な方向 のベクトル（法線ベクトル）を得る。

以上より求める法線ベクトルは

$$2u\ \color{red}{\pmb{i}}+2v\ \color{blue}{\pmb{j}}+\ \color{green}{\pmb{k}}$$

例題

単位球面 $\pmb{r}=\sin{u}\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\cos{u}\ \color{green}{\pmb{k}}\ \ \ \ \ (\ 0\leq u\leq \pi)$ の単位法線ベクトルを求めよ。

例題の解答

No.1 : 曲面の式を $u$、$v$ で偏微分する。

球面の式 $\pmb{r}=\sin{u}\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\cos{u}\ \color{green}{\pmb{k}}\ \ \ \ \ (\ 0\leq u\leq \pi)$ を $u$ と $v$ でそれぞれ偏微分すると

$$\color{magenta}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial u}}=\cos{u}\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\cos{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}-\sin{u}\ \color{green}{\pmb{k}}$$

\begin{eqnarray}\color{blue}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial v}}&=&-\sin{u}\sin{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\cos{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+0\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&-\sin{u}\sin{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\cos{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}\end{eqnarray}

No.2 : 求めた $\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial u}$ と $\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial v}$ どうしで外積をとる

２つの偏微分ベクトルどうしで外積をとると

\begin{eqnarray}\color{magenta}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial u}}\times\color{blue}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial v}}&=&\begin{vmatrix} \color{red}{\pmb{i}} & \color{blue}{\pmb{j}} & \color{green}{\pmb{k}} \\ \cos{u}\cos{v} & \cos{u}\sin{v} & -\sin{u} \\ -\sin{u}\sin{v} & \sin{u}\cos{v} & 0 \end{vmatrix}\\\\&=&\{\cos{u}\sin{v} \cdot 0-\left(-\sin{u}\right)\cdot\sin{u}\cos{v}\}\ \color{red}{\pmb{i}}\\\\&&+\{\left( -\sin{u}\right)\cdot\left(-\sin{u}\sin{v}\right)-\cos{u}\cos{v}\cdot 0\}\ \color{blue}{\pmb{j}}\\\\&&+\{\cos{u}\cos{v}\cdot\sin{u}\cos{v}-\cos{u}\sin{v}\cdot\left(-\sin{u}\sin{v}\right)\}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\{\sin^{2}{u}\cos{v}\}\ \color{red}{\pmb{i}}+\{\sin^{2}{u}\sin{v}\}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\{\sin{u}\cos{u}\cos^{2}{v}+\sin{u}\cos{u}\sin^{2}{v}\}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\{\sin^{2}{u}\cos{v}\}\ \color{red}{\pmb{i}}+\{\sin^{2}{u}\sin{v}\}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\sin{u}\cos{u}\{\cos^{2}{v}+\sin^{2}{v}\}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\sin^{2}{u}\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin^{2}{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\sin{u}\cos{u}\ \color{green}{\pmb{k}}\ \ \ \color{green}{\left(\cos^{2}{v}+\sin^{2}{v}=1 より\right)}\end{eqnarray}

となり法線ベクトルが求まる。

次に今回求めたいものは「単位」法線ベクトルであるので、先ほど求めた法線ベクトルを自身の大きさで割って「単位ベクトル化」する必要がある。

法線ベクトルの大きさは

\begin{eqnarray}\left|\color{magenta}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial u}}\times\color{blue}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial v}}\right|&=&\left|\sin^{2}{u}\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin^{2}{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\sin{u}\cos{u}\ \color{green}{\pmb{k}}\right|\\\\&=&\sqrt{\left(\sin^{2}{u}\cos{v}\right)^{2}+\left(\sin^{2}{u}\sin{v}\right)^{2}+\left(\sin{u}\cos{u}\right)^{2}}\\\\&=&\sqrt{\sin^{4}{u}\cos^{2}{v}+\sin^{4}{u}\sin^{2}{v}+\sin^{2}{u}\cos^{2}{u}}\\\\&=&\sqrt{\sin^{4}{u}\left(\cos^{2}{v}+\sin^{2}{v}\right)+\sin^{2}{u}\cos^{2}{u}}\\\\&=&\sqrt{\sin^{4}{u}+\sin^{2}{u}\cos^{2}{u}}\ \ \ \color{green}{\left(\cos^{2}{v}+\sin^{2}{v}=1 より\right)}\\\\&=&\sqrt{\sin^{2}{u}\left(\sin^{2}{u}+\cos^{2}{u}\right)}\\\\&=&\sqrt{\sin^{2}{u}}\ \ \ \color{green}{\left(\cos^{2}{v}+\sin^{2}{v}=1 より\right)}\\\\&=&\color{red}{\sin{u}}\end{eqnarray}

したがって、求める単位法線ベクトルは

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\color{magenta}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial u}}\times\color{blue}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial v}}}{\left|\color{magenta}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial u}}\times\color{blue}{\displaystyle\frac{\partial\pmb{r}}{\partial v}}\right|}&=&\displaystyle\frac{\sin^{2}{u}\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin^{2}{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\sin{u}\cos{u}\ \color{green}{\pmb{k}}}{\sin{u}}\\\\&=&\sin{u}\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\cos{u}\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

と求まる。

$$\sin{u}\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\cos{u}\ \color{green}{\pmb{k}}$$

練習問題

曲面 $\pmb{r}=\sin{u}\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\cos{u}\ \color{green}{\pmb{k}}\ \ \ \ \ (\ 0\leq u\leq \pi)$ の単位法線ベクトルを求めよ。