ベクトル解析

ハミルトン演算子∇(ナブラ)

ハミルトン演算子

次のような \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\)、 \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\) 、 \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\) を成分としたベクトルを \(\pmb{\nabla}\) と書き、これを ハミルトン演算子 と呼ぶ。

\begin{eqnarray}\pmb{\nabla}&=&\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x},\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial y},\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)\\\\&=&\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

\(\nabla\) を使うことでスカラー場 \(f\) の勾配を次のように表現することができる。

\begin{eqnarray}\mathrm{grad} f&=&\nabla f\\\\&=&\left[\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\right]f\\\\&=&\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

例えば、スカラー場 \(f=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\) に対しての勾配は

\begin{eqnarray}\nabla f&=&\nabla\left(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\right)\\\\&=&\left[\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\right]\left(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\right)}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\right)}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\right)}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\left(2xy+z^{2}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(x^{2}+2yz\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(y^{2}+2zx\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

となる。

ナブラ \(\pmb{\nabla}\) は「偏微分しますよ記号」といったイメージ

\(\nabla\) と \(r\) の計算

恐らくベクトル解析分野のメインディッシュといっても過言ではない \(\nabla\) と \(r\) が登場する計算について説明する。

\(r\) というのは位置ベクトル \(\pmb{r}=x\ \color{red}{\pmb{i}}+y\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\ \color{green}{\pmb{k}}\) の大きさ、つまり 

$$r=|\pmb{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$

であることは確認しておく。

例として \(\pmb{\nabla}r\) を計算してみよう。

Step1 :  \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) と変換する

\begin{eqnarray}\pmb{\nabla}r&=&\pmb{\nabla}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\\\\&=&\left[\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\right]\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{\partial\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

Step2 : \(x\) 成分だけ計算

さすがに各成分それぞれを素直に計算するのはしんどいので 式の対称性を利用して計算 する。

大抵この手の問題は \(x\),\(y\),\(z\) 成分が 対称性 を持っている(式の形状が一緒である)ので \(x\) 成分だけ計算して \(y\)、\(z\) 成分の計算結果は \(x\) 成分の 計算結果をパクれば計算過程を省略できる

早速 \(x\) 成分の計算をすると

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{\partial x}&=&\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\partial x}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}-1}\cdot\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\partial x}\ \ \ \left(合成関数の微分\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(2x+0+0\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot 2x\\\\&=&\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\end{eqnarray}

と求まる。

Step3 : 対称性を利用して \(y\) 成分、\(z\) 成分を求める

Step2 の計算結果において\(x\rightarrow y\) と置き換えると

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{\partial y}&=&\displaystyle\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\end{eqnarray}

\(x\rightarrow z\) と置き換えると

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{\partial z}&=&\displaystyle\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\end{eqnarray}

と楽々に求まる。

y成分をまじめに計算すると...

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{\partial y}&=&\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\partial y}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}-1}\cdot\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\partial y}\ \ \ \left(合成関数の微分\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(0+2y+0\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot 2y\\\\&=&\displaystyle\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\end{eqnarray}

z成分をまじめに計算すると...

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{\partial z}&=&\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\partial z}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}-1}\cdot\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\partial z}\ \ \ \left(合成関数の微分\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(0+0+2z\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot 2z\\\\&=&\displaystyle\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\end{eqnarray}

Step4 : \(\pmb{r}=x\ \color{red}{\pmb{i}}+y\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\ \color{green}{\pmb{k}}\) 、\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) で整理できる場所は整理しておく。

Step2 ~ Step3 より \(\pmb{\nabla}r\) は次のように計算される。

\begin{eqnarray}\pmb{\nabla}r&=&\displaystyle\frac{\partial\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\ &=& \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\ \color{red}{\pmb{i}}+ \displaystyle\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\ \color{blue}{\pmb{j}}+ \displaystyle\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\ \color{green}{\pmb{k}} \end{eqnarray}

ここで、\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) を使って2乗和の部分をスッキリさせると

\begin{eqnarray}\pmb{\nabla}r&=& \displaystyle\frac{x}{r}\ \color{red}{\pmb{i}}+ \displaystyle\frac{y}{r}\ \color{blue}{\pmb{j}}+ \displaystyle\frac{z}{r}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{r}\left(x\ \color{red}{\pmb{i}}+y\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\ \color{green}{\pmb{k}}\right)\end{eqnarray}

\(\pmb{r}=x\ \color{red}{\pmb{i}}+y\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\ \color{green}{\pmb{k}}\) であるので

\begin{eqnarray}\pmb{\nabla}r&=&\displaystyle\frac{1}{r}\left(x\ \color{red}{\pmb{i}}+y\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\ \color{green}{\pmb{k}}\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r}\end{eqnarray}

$$\pmb{\nabla}r=\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r}$$

例題

位置ベクトルを \(\pmb{r}=x\ \color{red}{\pmb{i}}+y\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\ \color{green}{\pmb{k}}\) と決める。

\(\pmb{\nabla}\log{r}\) を計算せよ。

例題の解答

Step1 :  \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) と変換する

\begin{eqnarray}\pmb{\nabla}\left(\log{r}\right)&=&\pmb{\nabla}\left(\log{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)\\\\&=&\left[\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\right]\left(\log{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

Step2 : \(x\) 成分だけ計算

\(x\) 成分の計算をすると

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}\right)}{\partial x}&=&\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\right)}{\partial x}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}\right)}{\partial x}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\partial x}\ \ \ \left(合成関数の微分\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\left(2x+0+0\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\end{eqnarray}

Step3 : 対称性を利用して \(y\) 成分、\(z\) 成分を求める

Step2 の計算結果において\(x\rightarrow y\) と置き換えると

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}\right)}{\partial y}&=&\displaystyle\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\end{eqnarray}

\(x\rightarrow z\) と置き換えると

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}\right)}{\partial z}&=&\displaystyle\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\end{eqnarray}

と楽々に求まる。

y成分をまじめに計算すると...

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}\right)}{\partial y}&=&\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\right)}{\partial y}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}\right)}{\partial y}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\partial y}\ \ \ \left(合成関数の微分\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\left(0+2y+0\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\end{eqnarray}

z成分をまじめに計算すると...

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}\right)}{\partial z}&=&\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\right)}{\partial z}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}\right)}{\partial z}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\partial z}\ \ \ \left(合成関数の微分\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\left(0+0+2z\right)\\\\&=&\displaystyle\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\end{eqnarray}

Step4 : \(\pmb{r}=x\ \color{red}{\pmb{i}}+y\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\ \color{green}{\pmb{k}}\) 、\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) で整理できる場所は整理しておく。

Step2 ~ Step3 より \(\pmb{\nabla}\log{r}\) は次のように計算される。

\begin{eqnarray}\pmb{\nabla}\left(\log{r}\right)&=&\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial\left(\log{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\displaystyle\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

ここで、\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) を使って2乗和の部分をスッキリさせると

\begin{eqnarray}\pmb{\nabla}\left(\log{r}\right)&=&\displaystyle\frac{x}{r^{2}}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{y}{r^{2}}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{z}{r^{2}}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{r^{2}}\left(x\ \color{red}{\pmb{i}}+y\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\ \color{green}{\pmb{k}}\right)\end{eqnarray}

\(\pmb{r}=x\ \color{red}{\pmb{i}}+y\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\ \color{green}{\pmb{k}}\) であるので

\begin{eqnarray}\pmb{\nabla}\left(\log{r}\right)&=&\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r^{2}}\end{eqnarray}

$$\pmb{\nabla}\left(\log{r}\right)=\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r^{2}}$$

練習問題

位置ベクトルを \(\pmb{r}=x\ \color{red}{\pmb{i}}+y\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\ \color{green}{\pmb{k}}\) と決める。

\(\pmb{\nabla}\left(r\mathrm{e}^{-r}\right)\) を計算せよ。

まとめ

・ハミルトン演算子 \(\pmb{\nabla}\) は次のような ベクトル である。

\begin{eqnarray}\pmb{\nabla}&=&\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

・ハミルトン演算子は簡単に言うと「偏微分しちゃうぞー」っていうベクトル