ベクトル関数とは何か
実数の変数 \(t\) を含む関数 \(x\left(t\right)\), \(y\left(t\right)\), \(z\left(t\right)\) を成分とする ベクトル \(\pmb{A}\left(t\right)\)
\begin{eqnarray}\pmb{A}\left(t\right)&=&\left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right)\\\\&=& x\left(t\right)\pmb{i}+y\left(t\right)\pmb{j}+z\left(t\right)\pmb{k}\end{eqnarray}
を1変数の ベクトル関数 という。
例えば、\(\pmb{A}\left(t\right)=\left(3t+1\right)\pmb{i}+\left(t^2\right)\pmb{j}+\left(\sin{t}\right)\pmb{k}\) は成分に変数 \(t\) を含むベクトルなので
ベクトル関数 といえる。
対して、\(y=\sin{t}\) や \(y=t^{2}\) といった成分表示されていない関数を スカラー関数 と呼ぶ。
ベクトル関数の微分計算
ベクトル関数 \(\pmb{A}\left(t\right)=\left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right)= x\left(t\right)\pmb{i}+y\left(t\right)\pmb{j}+z\left(t\right)\pmb{k}\) の微分計算は各成分を微分するだけでよい。
すなわち
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{d\pmb{A}}{dt}&=&\left(\displaystyle\frac{dx\left(t\right)}{dt}, \displaystyle\frac{dy\left(t\right)}{dt}, \displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}\right)\\\\&=& \displaystyle\frac{dx\left(t\right)}{dt}\pmb{i}+\displaystyle\frac{dy\left(t\right)}{dt}\pmb{j}+\displaystyle\frac{dz\left(t\right)}{dt}\pmb{k}\end{eqnarray}
例えば、先ほどの ベクトル関数 \(\pmb{A}\left(t\right)=\left(3t+1\right)\pmb{i}+\left(t^2\right)\pmb{j}+\left(\sin{t}\right)\pmb{k}\) を変数 \(t\) について微分すると
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{d\pmb{A}}{dt}&=& \displaystyle\frac{d\left(3t+1\right)}{dt}\pmb{i}+\displaystyle\frac{d\left(t^{2}\right)}{dt}\pmb{j}+\displaystyle\frac{d\left(\sin{t}\right)}{dt}\pmb{k}\\\\&=&\left(3\right)\pmb{i}+\left(2t\right)\pmb{j}+\left(\cos{t}\right)\pmb{k}\end{eqnarray}
となる。
ベクトル関数の2回以上の微分についても同様に各成分関数を微分するだけでよい。
つまり、
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{d^{n}\pmb{A}}{dt^{n}}&=&\left(\displaystyle\frac{d^{n}x\left(t\right)}{dt^{n}}, \displaystyle\frac{d^{n}y\left(t\right)}{dt^{n}}, \displaystyle\frac{d^{n}z\left(t\right)}{dt^{n}}\right)\\\\&=& \displaystyle\frac{d^{n}x\left(t\right)}{dt^{n}}\pmb{i}+\displaystyle\frac{d^{n}y\left(t\right)}{dt^{n}}\pmb{j}+\displaystyle\frac{d^{n}z\left(t\right)}{dt^{n}}\pmb{k}\end{eqnarray}
ベクトル関数の微分公式・性質
\(\pmb{A}\left(t\right)\)、\(\pmb{B}\left(t\right)\)、\(\pmb{C}\left(t\right)\) を ベクトル関数 、 \(\lambda\left(t\right)\) を スカラー関数 とするとき、ベクトル関数の微分には次の性質がある。
- \(\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\color{orange}{\lambda}\color{red}{\pmb{A}}\right)=\displaystyle\frac{d\color{orange}{\lambda}}{dt}\color{red}{\pmb{A}}+\color{orange}{\lambda}\displaystyle\frac{d\color{red}{\pmb{A}}}{dt}\\\\\\\\\\\) (積の微分)
- \(\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\color{red}{\pmb{A}}+\color{blue}{\pmb{B}}\right)=\displaystyle\frac{d\color{red}{\pmb{A}}}{dt}+\displaystyle\frac{d\color{blue}{\pmb{B}}}{dt}\\\\\\\\\\\) (微分の分配)
- \(\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\color{red}{\pmb{A}}\cdot\color{blue}{\pmb{B}}\right)=\displaystyle\frac{d\color{red}{\pmb{A}}}{dt}\cdot\color{blue}{\pmb{B}}+\color{red}{\pmb{A}}\cdot\displaystyle\frac{d\color{blue}{\pmb{B}}}{dt}\\\\\\\\\\\) (内積版の積の微分)
- \(\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\color{red}{\pmb{A}}\times\color{blue}{\pmb{B}}\right)=\displaystyle\frac{d\color{red}{\pmb{A}}}{dt}\times\color{blue}{\pmb{B}}+\color{red}{\pmb{A}}\times\displaystyle\frac{d\color{blue}{\pmb{B}}}{dt}\\\\\\\\\\\) (外積版の積の微分)
- \(\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\color{red}{\pmb{A}},\ \color{blue}{\pmb{B}},\ \color{green}{\pmb{C}}\right)=\left(\displaystyle\frac{d\color{red}{\pmb{A}}}{dt},\ \color{blue}{\pmb{B}},\ \color{green}{\pmb{C}}\right)+\left(\color{red}{\pmb{A}},\ \displaystyle\frac{d\color{blue}{\pmb{B}}}{dt},\ \color{green}{\pmb{C}}\right)+\left(\color{red}{\pmb{A}},\ \color{blue}{\pmb{B}},\ \displaystyle\frac{d\color{green}{\pmb{C}}}{dt}\right)\) (スカラー3重積の微分)
- \(\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\color{red}{\pmb{A}}\times\left(\color{blue}{\pmb{B}}\times\color{green}{\pmb{C}}\right)\right)=\displaystyle\frac{d\color{red}{\pmb{A}}}{dt}\times\left(\color{blue}{\pmb{B}}\times\color{green}{\pmb{C}}\right)+\color{red}{\pmb{A}}\times\left(\displaystyle\frac{d\color{blue}{\pmb{B}}}{dt}\times\color{green}{\pmb{C}}\right)+\color{red}{\pmb{A}}\times\left(\color{blue}{\pmb{B}}\times\displaystyle\frac{d\color{green}{\pmb{C}}}{dt}\right)\) (ベクトル3重積の微分)
例題
\(t\) のベクトル関数 \(\pmb{r}=\pmb{r}\left(t\right)\) について、\(r=|\pmb{r}|\) とするとき
ベクトル関数
$$\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r}$$
を微分せよ。
例題の解答
ベクトル関数 \(\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r}\) をスカラー関数 \(\lambda=\displaystyle\frac{1}{r}\) とベクトル関数 \(\pmb{A}=\pmb{r}\) の積だと判断して、性質①の 積の微分 を適用する。
$$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r}\right)=\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)\pmb{r}+\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}$$
ここで、\(\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)\) について
$$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)=-\displaystyle\frac{1}{r^{2}}\displaystyle\frac{dr}{dt}\cdot\cdot\cdot\left(A\right)$$
であるので、
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r}\right)&=&\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)\pmb{r}+\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}\\\\&=&-\displaystyle\frac{1}{r^{2}}\displaystyle\frac{dr}{dt}\pmb{r}+\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}\\\\&=&-\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r^{2}}\displaystyle\frac{dr}{dt}+\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}\end{eqnarray}
$$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r}\right)=-\displaystyle\frac{\pmb{r}}{r^{2}}\displaystyle\frac{dr}{dt}+\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}$$
合成関数の微分を行っている。
\(\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)\) について、\(\displaystyle\frac{d}{dt}=\displaystyle\frac{d}{\color{red}{dr}}\displaystyle\frac{\color{red}{dr}}{dt}\) と変形する。(約分の逆)
すると
$$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)=\displaystyle\frac{d}{\color{red}{dr}}\displaystyle\frac{\color{red}{dr}}{dt}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)=\displaystyle\frac{dr}{dt}\cdot\displaystyle\frac{d}{dr}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)$$
ここで、\(\displaystyle\frac{d}{dr}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)=-\displaystyle\frac{1}{r^{2}}\) であるので
$$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)=\displaystyle\frac{dr}{dt}\cdot\displaystyle\frac{d}{dr}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)=\displaystyle\frac{dr}{dt}\cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{r^{2}}\right)=-\displaystyle\frac{1}{r^{2}}\displaystyle\frac{dr}{dt}$$
$$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)=-\displaystyle\frac{1}{r^{2}}\displaystyle\frac{dr}{dt}$$
練習問題
\(t\) のベクトル関数 \(\pmb{r}=\pmb{r}\left(t\right)\) について、\(r=|\pmb{r}|\) とするとき
ベクトル関数
$$\left(\pmb{r}\cdot\pmb{r}\right)\pmb{r}$$
を微分せよ。
まとめ
・関数を成分としたベクトルを ベクトル関数 と呼ぶ。
・ベクトル関数 の微分は成分となる各関数を微分してあげればいい。
例えば、ベクトル関数
$$\pmb{A}\left(t\right)=\left(t^{3}\right)\pmb{i}+\left(2t+3\right)\pmb{j}+\left(\log{t}\right)\pmb{k}$$
を微分すると
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{d\pmb{A}}{dt}&=& \displaystyle\frac{d\left(t^{3}\right)}{dt}\pmb{i}+\displaystyle\frac{d\left(2t+3\right)}{dt}\pmb{j}+\displaystyle\frac{d\left(\log{t}\right)}{dt}\pmb{k}\\\\&=&\left(3t^{2}\right)\pmb{i}+\left(2\right)\pmb{j}+\left(\displaystyle\frac{1}{t}\right)\pmb{k}\end{eqnarray}
となる。
