方向微分係数
方向微分係数 とはあるベクトル方向でのスカラー場の等高線を跨ぐ勢いを示す。
スカラー場 \(f=\left(x,y,z\right)\)上の点 \(A\) において、ベクトル \(\pmb{a}\) 方向への方向微分係数 \(\nabla_{\pmb{a}}f\) はベクトル \(\pmb{a}\) と スカラー場の勾配ベクトル \(\nabla f\) の内積で求まり、次のようになる。
$$\nabla_{\pmb{a}}f=\pmb{a}\cdot\nabla f$$
例えば、お馴染みのスカラー場 \(f=x^{2}+y^{2}+z^{2}\) の点 \(A\left(\sqrt{3},\sqrt{3},1\right)\) における、ベクトル \(\pmb{a}=\left(2,1,3\right)\) 方向の方向微分係数を求めてみよう。
Step1 : 点 \(A\) における \(f\) の勾配ベクトルを求める。
勾配ベクトルは \(\nabla f\) で求まるので次のように計算される。
\begin{eqnarray}\nabla f&=&\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\left(2x\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(2y\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(2z\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}
求まった勾配ベクトルに点 \(A\) の座標を代入する。
\begin{eqnarray}\nabla f\left(\sqrt{3},\sqrt{3},1\right)&=&\left(2\sqrt{3}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(2\sqrt{3}\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(2\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}
Step2 : 座標代入した \(\pmb{\nabla}f\) と方向ベクトルの内積をとる。
Step1 で勾配ベクトルは \(\nabla f=\left(2\sqrt{3},2\sqrt{3},2\right)\) と求まり、方向ベクトルは設定から \(\pmb{a}=\left(2,1,3\right)\) であるので内積をとる。
\begin{eqnarray}\nabla f\cdot\pmb{a}&=&\left[\left(2\sqrt{3}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(2\sqrt{3}\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(2\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\right]\cdot\left[\left(2\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(1\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(3\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\right]\\\\&=&2\sqrt{3}\cdot 2+2\sqrt{3}\cdot 1+2\cdot 3\\\\&=&4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+6\\\\&=&6\left(\sqrt{3}+1\right)\end{eqnarray}
以上より求める方向微分係数は
$$6\left(\sqrt{3}+1\right)$$
例題
曲面 \(x^{2}y+y^{2}x+z^{2}x=3\) 上の点 \(A\left(3,0,1\right)\) において、
法線方向に対する \(g\left(x,y,z\right)=xyz\) の方向微分係数を求めよ
例題の解答
Step1 : 点 \(A\) における \(g\) の勾配ベクトルを求める。
スカラー場 \(g=xyz\) の勾配ベクトルは \(\nabla g\) を計算して
\begin{eqnarray}\nabla g&=&\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial g}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial g}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\displaystyle\frac{\partial\left(xyz\right)}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial\left(xyz\right)}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial\left(xyz\right)}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\left(yz\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(xy\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(xz\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}
求まった勾配ベクトルに点 \(A\) の座標を代入する。
\begin{eqnarray}\nabla g\left(3,0,1\right)&=&\left(0\cdot 1\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(3\cdot 1\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(3\cdot 0\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&3\ \color{blue}{\pmb{j}}\end{eqnarray}
Step2 : 点 \(A\) における法線ベクトルを求める
今回求める方向微分係数の方向ベクトルは問題文より
曲面 \(x^{2}y+y^{2}x+z^{2}x=3\) 上の点
\(A\left(3,0,1\right)\) における法線ベクトルである。
つまり、方向微分係数を求めるために 法線ベクトル を求めなければならない。
曲面 \(x^{2}y+y^{2}x+z^{2}x=3\) を等位面に持つスカラー場は
$$f\left(x,y,z\right)=x^{2}y+y^{2}x+z^{2}x$$
である。
法線ベクトルの計算のために、まずは点 \(A\) における \(f\) の勾配ベクトルを求めよう。
このスカラー場 \(f\) の勾配ベクトルは \(\nabla f\) を計算して
\begin{eqnarray}\nabla f&=&\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}y+y^{2}x+z^{2}x\right)}{\partial x}\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}y+y^{2}x+z^{2}x\right)}{\partial y}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{\partial\left(x^{2}y+y^{2}x+z^{2}x\right)}{\partial z}\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\left(2xy+y^{2}+z^{2}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(x^{2}+2xy\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(2zx\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}
求まった勾配ベクトルに点 \(A\) の座標を代入する。
\begin{eqnarray}\nabla f\left(3,0,1\right)&=&\left(2\cdot 3\cdot 0+0^{2}+1^{2}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(3^{2}+2\cdot 3\cdot 0\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(2\cdot 1\cdot 3\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\left(1\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(9\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(6\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}
勾配ベクトルの大きさは
\begin{eqnarray}\left|\nabla f\left(3,0,1\right)\right|&=&\left|\left(1\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(9\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(6\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\right|\\\\&=&\sqrt{1^{2}+9^{2}+6^{2}}\\\\&=&\sqrt{118}\end{eqnarray}
と求まるので点 \(A\) における法線ベクトルは
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\nabla f}{\left|\nabla f\right|}&=&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{118}}\{\ \color{red}{\pmb{i}}+9\ \color{blue}{\pmb{j}}+6\ \color{green}{\pmb{k}}\}\end{eqnarray}
Step3 : \(\pmb{\nabla}g\) と方向ベクトル(法線ベクトル)の内積をとる。
問題文をおさらいすると「法線方向に対する \(g\left(x,y,z\right)=xyz\) の方向微分係数を求めよ」とのことなので、求める方向微分係数は
$$\pmb{\nabla}g\cdot\left(法線ベクトル\right)$$
で求まる。
本問の方向ベクトルは点 \(A\) での法線ベクトルである
従って Step1 と Step2 の結果から
\begin{eqnarray}\pmb{\nabla g}\cdot\displaystyle\frac{\nabla f}{\left|\nabla f\right|}&=&3\ \color{blue}{\pmb{j}}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{118}}\{\ \color{red}{\pmb{i}}+9\ \color{blue}{\pmb{j}}+6\ \color{green}{\pmb{k}}\}\\\\&=&\displaystyle\frac{18}{\sqrt{118}}\end{eqnarray}
求める方向微分係数は
$$\displaystyle\frac{18}{\sqrt{118}}$$
練習問題
\(f\left(x,y,z\right)=x^{2}y+y^{2}x-xyz\) について、点 \(P\left(2,1,3\right)\) における \(P\) の位置ベクトル方向の方向微分係数を求めよ
まとめ
・方向微分係数を求めるには「スカラー場」「方向ベクトル」がそれぞれ何かを確認して解く。
・方向微分係数は「スカラー場の勾配」と「方向ベクトル」の内積で求まる。
