ベクトル解析

スカラー3重積

スカラー3重積とその計算

ベクトル \(\pmb{a}\)、\(\pmb{b}\)、\(\pmb{c}\) に対して

$$\left( \pmb{a}\times\pmb{b}\right)\cdot \pmb{c}$$

または

$$\pmb{a}\cdot\left( \pmb{b}\times\pmb{c}\right)$$

をベクトル \(\pmb{a}\)、\(\pmb{b}\)、\(\pmb{c}\) の スカラー3重積 と呼び、記号を省略して \(\left(\pmb{a},\pmb{b},\pmb{c}\right)\) と書くこともある。内積の交換法則よりこれら2つの式は等しく

$$\left( \pmb{a}\times\pmb{b}\right)\cdot \pmb{c}= \pmb{a}\cdot\left( \pmb{b}\times\pmb{c}\right)$$

が成り立つ。

\(\pmb{a}=\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)\)、\(\pmb{b}=\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)\)、\(\pmb{c}=\left(c_{1},c_{2},c_{3}\right)\) と成分を設定して スカラー3重積 を計算してみよう。ここでは、1つ目の スカラー3重積 のみ計算する。

まず、\(\pmb{a}\times\pmb{b}\) は

\begin{eqnarray}&&\pmb{a}\times\pmb{b}\\\\&=&\begin{vmatrix}\pmb{i} & \pmb{j} & \pmb{k}\\a_{1} & a_{2} & a_{3}\\b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{vmatrix}\\\\&=&\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\pmb{i}+\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\pmb{j}+\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\pmb{k}\end{eqnarray}

と計算される。外積 計算については下記事参照。

ベクトルの外積外積の計算方法、性質の紹介と共に外積がどんなところで役立っているかを解説する。...

次に、外積 \(\pmb{a}\times\pmb{b}\) とベクトル \(\pmb{c}\) の内積は

\begin{eqnarray}&&\left(\pmb{a}\times\pmb{b}\right)\cdot\color{green}{\pmb{c}}\\\\&=&\{\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\pmb{i}+\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\pmb{j}+\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\pmb{k}\}\cdot\color{green}{\{c_{1}\pmb{i}+c_{2}\pmb{j}+c_{3}\pmb{k}\}}\\\\&=&\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\color{green}{c_{1}}+\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\color{green}{c_{2}}+\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\color{green}{c_{3}}\\\\&=&\color{green}{c_{1}}\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)+\color{green}{c_{2}}\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)+\color{green}{c_{3}}\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\end{eqnarray}

ここで、サラスの方法より

\begin{cases}\begin{vmatrix}a_{2} & a_{3}\\b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\\\-\begin{vmatrix}a_{1} & a_{3}\\b_{1} & b_{3} \end{vmatrix}=-\left(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}\right)=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\\\\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\b_{1} & b_{2} \end{vmatrix}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{cases}

であるので、スカラー3重積 の各項はこれら 行列式 を用いて

\begin{eqnarray}&&\left(\pmb{a}\times\pmb{b}\right)\cdot\color{green}{\pmb{c}}\\\\&=&\color{green}{c_{1}}\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)+\color{green}{c_{2}}\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)+\color{green}{c_{3}}\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\\\\&=&\color{green}{c_{1}}\begin{vmatrix}a_{2} & a_{3}\\b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}+\color{green}{c_{2}}\left[-\begin{vmatrix}a_{1} & a_{3}\\b_{1} & b_{3} \end{vmatrix}\right]+\color{green}{c_{3}}\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\b_{1} & b_{2} \end{vmatrix}\\\\&=&\color{green}{c_{1}}\begin{vmatrix}a_{2} & a_{3}\\b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}-\color{green}{c_{2}}\begin{vmatrix}a_{1} & a_{3}\\b_{1} & b_{3} \end{vmatrix}+\color{green}{c_{3}}\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\b_{1} & b_{2} \end{vmatrix}\end{eqnarray}

と書き直される。

この 行列式係数付きで足し算となっている形は 余因子展開 で見られる形であり、余因子展開 の符号も考慮して

\begin{eqnarray}&&\left(\pmb{a}\times\pmb{b}\right)\cdot\color{green}{\pmb{c}}\\\\&=&\color{green}{c_{1}}\begin{vmatrix}a_{2} & a_{3}\\b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}-\color{green}{c_{2}}\begin{vmatrix}a_{1} & a_{3}\\b_{1} & b_{3} \end{vmatrix}+\color{green}{c_{3}}\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\b_{1} & b_{2} \end{vmatrix}\\\\&=&\left(-1\right)^{3+1}\color{green}{c_{1}}\begin{vmatrix}a_{2} & a_{3}\\b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}+\left(-1\right)^{3+2}\color{green}{c_{2}}\begin{vmatrix}a_{1} & a_{3}\\b_{1} & b_{3} \end{vmatrix}+\left(-1\right)^{3+3}\color{green}{c_{3}}\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\b_{1} & b_{2} \end{vmatrix}\\\\&=&\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3}\\b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \color{green}{c_{1}} & \color{green}{c_{2}} & \color{green}{c_{3}} \end{vmatrix}\end{eqnarray}

と計算される。

行列式②(余因子展開)アニメーションを用いて余因子展開で行列式を求める方法を例題を解きながら視覚的にわかりやすく解説します。余因子展開は行列式の計算を楽にするための基本テクニックです。...

従って、スカラー3重積 は各ベクトルの成分を並べた \(3\times 3\) 行列式であることが分かる。

$$\left( \pmb{a}\times\pmb{b}\right)\cdot \pmb{c}= \pmb{a}\cdot\left( \pmb{b}\times\pmb{c}\right)=\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3}\\b_{1} & b_{2} & b_{3}\\c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}$$

となる。

スカラー3重積の図形的意味

スカラー3重積 \(\left( \pmb{a}\times\pmb{b}\right)\cdot \pmb{c}\) は図形的にはベクトル \(\pmb{a}\)、\(\pmb{b}\)、\(\pmb{c}\) で張られた 平行六面体の体積 を意味する。


スカラー3重積 が平行六面体の体積であることの証明

まず底面のベクトル \(\pmb{b}\)、\(\pmb{c}\) で張られた平行四辺形の面積 \(S\) を求めよう。

ベクトル \(\pmb{b}\)、\(\pmb{c}\) のなす角を \(\alpha\) とすると、\(\pmb{b}\)、\(\pmb{c}\) が作る三角形の面積を \(T\) としたとき

$$T=\frac{1}{2}|\pmb{b}||\pmb{c}|\sin{\alpha}$$

と求まる。

底面の平行四辺形 \(S\) はこの三角形 \(T\) の2つ分の面積なので

\begin{eqnarray}S&=&2T\\\\&=&2\cdot\frac{1}{2}|\pmb{b}||\pmb{c}|\sin{\alpha}\\\\&=&|\pmb{b}||\pmb{c}|\sin{\alpha}\end{eqnarray}

と求まる。

ここで、\(|\pmb{b}||\pmb{c}|\sin{\alpha}=|\pmb{b}\times\pmb{c}|\) であるので平行四辺形の面積は 外積 で表現されて

\begin{eqnarray}S&=&|\pmb{b}||\pmb{c}|\sin{\alpha}\\\\&=&\pmb{b}\times\pmb{c}\end{eqnarray}

と書ける。

次に、平行六面体の高さ \(h\) を求めよう。

ベクトル \(\pmb{a}\) と高さ方向の軸となす角を \(\theta\) と置くと

平行六面体の体積 \(h\) は

$$h=|\pmb{a}|\cos{\theta}$$

と書ける。

したがって、平行六面体の体積 \(V\) は底面積と高さの掛け算で求まり

\begin{eqnarray}V&=&Sh\\\\&=&|\pmb{b}\times\pmb{c}||\pmb{a}|\cos{\theta}\end{eqnarray}

さて 外積 \(\pmb{b}\times\pmb{c}\) の方向はベクトル \(\pmb{b}\)、\(\pmb{c}\) と垂直な方向である。すなわち、平行六面体の高さ方向と等しい。

すなわち 外積 \(\pmb{b}\times\pmb{c}\) とベクトル \(\alpha\) と高さ方向の軸とベクトル \(\alpha\) がなす角がなす角は等しく \(\theta\) である。

すなわち、\(V\) の右辺について

$$|\pmb{b}\times\pmb{c}||\pmb{a}|\cos{\theta}=\left(\pmb{b}\times\pmb{c}\right)\cdot\pmb{a}$$

であるので

\begin{eqnarray}V&=&|\pmb{b}\times\pmb{c}||\pmb{a}|\cos{\theta}\\\\&=&\left(\pmb{b}\times\pmb{c}\right)\cdot\pmb{a}\\\\&=&\pmb{a}\cdot\left(\pmb{b}\times\pmb{c}\right)\end{eqnarray}

となり、スカラー3重積平行六面体の体積 であることが示された。

3重積の計算結果が “スカラー” であることが 「スカラー3重積」 と呼ばれる所以である。  

例題

ベクトル \(\pmb{a}\)、\(\pmb{b}\)、\(\pmb{c}\) の スカラー3重積 を \(\left(\pmb{a},\pmb{b},\pmb{c}\right)\) と書く時

\(\left(\pmb{a},\pmb{b},\pmb{c}\right)=-\left(\pmb{b},\pmb{a},\pmb{c}\right)\)

を示せ。

例題の解答

スカラー3重積 は行列式で表現されて

\begin{eqnarray}\left(\pmb{a},\pmb{b},\pmb{c}\right)&=&\left( \pmb{a}\times\pmb{b}\right)\cdot \pmb{c}\\\\&=&\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3}\\b_{1} & b_{2} & b_{3}\\c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}\end{eqnarray}

行列式 は \(-1\) 倍することで行を入れ替えることができる性質を持つ。

すなわち

\begin{eqnarray}\left(\color{red}{\pmb{a}},\color{blue}{\pmb{b}},\color{green}{\pmb{c}}\right)&=&\begin{vmatrix}\color{red}{a_{1}} & \color{red}{a_{2}} & \color{red}{a_{3}}\\\color{blue}{b_{1}} & \color{blue}{b_{2}} & \color{blue}{b_{3}}\\\color{green}{c_{1}} & \color{green}{c_{2}} & \color{green}{c_{3}} \end{vmatrix}\\\\&=&\begin{vmatrix}\color{blue}{b_{1}} & \color{blue}{b_{2}} & \color{blue}{b_{3}}\\ \color{red}{a_{1}} & \color{red}{a_{2}} & \color{red}{a_{3}}\\ \color{green}{c_{1}} & \color{green}{c_{2}} & \color{green}{c_{3}} \end{vmatrix}\\\\&=&-\left(\color{blue}{\pmb{b}},\color{red}{\pmb{a}},\color{green}{\pmb{c}}\right)\end{eqnarray}

まとめ

スカラー3重積 は各ベクトルの成分を並べた \(3\times 3\) 行列式である。

 

スカラー3重積 \(\left( \pmb{a}\times\pmb{b}\right)\cdot \pmb{c}\) はベクトル \(\pmb{a}\)、\(\pmb{b}\)、\(\pmb{c}\) で張られた 平行六面体の体積 を意味する。