曲線のベクトル表示・接線ベクトル

平面曲線のベクトル表示
空間曲線のベクトル表示
接線ベクトル
例題
例題の解答
まとめ

平面曲線のベクトル表示

次の $xy$ 平面にある曲線を「式」で表現することを考えてみよう。

慣れた手法で式表現するのならば、

$$y=x^{2}\ \ \ \left(-1\leq x \leq 2\right)$$

と書けばいい話であるが、今回はこの曲線を ベクトル関数 として記述してみよう。

まず、$x$ 成分を $t$ と置いてみる。

$$x=t$$

すると、図より $x$ の定義域は $-1\leq x\leq 2$ であるので $t$ についても

$$-1\leq t\leq 2$$

であると言える。

次に $y$ 成分については $y=x^{2}$ に $x=t$ を代入することで

$$y=t^{2}$$

と書ける。

今回は平面を考えているため、 $z$ については考えていないので、$z=0$ としよう。

すると、曲線のベクトル関数 $\pmb{r}\left(t\right)$ は次のように書ける。

$$\pmb{r}\left(t\right)=t\ \color{red}{\pmb{i}}+t^{2}\ \color{blue}{\pmb{j}}$$

各ベクトル成分を共通した変数 $t$ で書き換えることを 媒介変数表示 という。

ベクトル関数の挙動はこんな感じ

空間曲線のベクトル表示

平面における曲線のベクトル表示を説明したが、正直 今までの「$y=\bigcirc\bigcirc$」でよくね？ って思った人も多いはずである。

実は、この曲線をベクトル表示する恩恵は 空間における曲線 に対しては、如実に感じられる。

例として、次の らせん曲線 を式で表現してみよう。

$z$ 軸を上から眺めると、みなさんお馴染みの $xy$ 平面が見える。

らせん曲線を上から眺めると先程の図の右側のように 半径1の円に見えるはず である。となると、曲線ベクトルの $x$ 成分、$y$ 成分は

$$x=\cos{t}$$

$$y=\sin{t}$$

である。次に、$z$ 成分を求める。

$xy$ 平面に投影された単位円（上から見た図）において、$t=\pi$ 、すなわち $x=\cos{\pi}=-1$ 、$x=\sin{\pi}=1$ のとき、$z$ は先ほどの図より $z=\pi$ である。

同様に、$t=2\pi$ 、すなわち $x=\cos{2\pi}=1$ 、$x=\sin{2\pi}=1$ のとき、$z$ は先ほどの図より $z=2\pi$ である。

ベクトル表示の目的は $z$ を $t$ を使って表すことが目的である。今、$t$ と $z$ が一致することが分かったので

$$z=t$$

と表現できる。

以上より、今回のらせん曲線のベクトル表示は

$$\pmb{r}\left(t\right)=\cos{t}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{t}\ \color{blue}{\pmb{j}}+t\ \color{green}{\pmb{k}}$$

スカラー表示 でらせん曲線を表すと

\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\\\z=t\ \ \ \ \ (0\leq t\leq 2\pi)\end{cases}

となり、第1式は 単位円の式 、第2式は 平面（上昇)の式 を意味している。

これは、$xy$ 平面に存在する単位円を $z$ 軸正方向に引き伸ばすイメージである。

すなわち、らせん曲線を意味する。

接線ベクトル

曲線 $y=x^{2}$ について、ある点 $\left(t,t^{2}\right)$ における接線の方程式は、$y^{\prime}=2x$ であるので

$$y-t^{2}=2t\left(x-t\right)$$

$$y=2tx-t^{2}$$

となる。

それでは、ベクトル表示された同様の曲線 $\pmb{r}\left(t\right)=t\ \color{red}{\pmb{i}}+t^{2}\ \color{blue}{\pmb{j}}$ について、接線の方程式に対抗した 接線ベクトル を求めてみよう。

計算方法はいたってシンプルで ベクトル関数 $\pmb{r}\left(t\right)$ を媒介変数 $t$ で微分してあげればよい。つまり、接線ベクトルは

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{dr}{dt}&=& \displaystyle\frac{d}{dt}\left(t\right) \ \color{red}{\pmb{i}} +\displaystyle\frac{d}{dt}\left(t^{2}\right) \ \color{blue}{\pmb{j}}\\\\&=&1\cdot\ \color{red}{\pmb{i}} +2t\cdot\ \color{blue}{\pmb{j}}\\\\&=& \color{red}{\pmb{i}} +2t\ \color{blue}{\pmb{j}} \end{eqnarray}

と求まる。

ベクトル関数の微分成分が関数であるベクトルを "ベクトル関数" と言い、ベクトル関数の微分はそれら各成分関数を微分するだけの簡単なお仕事である。...

この二次関数の接線ベクトルの挙動はこんな感じ。

例題

らせん曲線

$$\pmb{r}\left(t\right)=\left(\cos{t}\right)\color{red}{\pmb{i}}+\left(\sin{t}\right)\color{blue}{\pmb{j}}+\left(t\right)\color{green}{\pmb{k}}$$

について、大きさが1の接線ベクトルを求めよ。

例題の解答

接線ベクトルを求めるために ベクトル関数 $\pmb{r}$ を $t$ で微分する。

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}&=&\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\cos{t}\right)\color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\sin{t}\right)\color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{d}{dt}\left(t\right)\color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\left(-\sin{t}\right)\color{red}{\pmb{i}}+\left(\cos{t}\right)\color{blue}{\pmb{j}}+\color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

$\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}$ の大きさは

\begin{eqnarray}\left|\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}\right|&=&\sqrt{\left(-\sin{t}\right)^{2}+\left(\cos{t}\right)^{2}+\left(1\right)^{2}}\\\\&=&\sqrt{\sin^{2}{t}+\cos^{2}{t}+1}\\\\&=&\sqrt{1+1}\\\\&=&\sqrt{2}\end{eqnarray}

である。ここで、接線ベクトル $\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}$ の大きさを1にするには、接線ベクトルをその大きさ $\left|\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}\right|$ で割り算すればよい。

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}}{\left|\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}\right|}&=&\displaystyle\frac{\left(-\sin{t}\right)\color{red}{\pmb{i}}+\left(\cos{t}\right)\color{blue}{\pmb{j}}+\color{green}{\pmb{k}}}{\sqrt{2}}\end{eqnarray}

この「大きさが１の」接線ベクトル を 単位接線ベクトル と呼ぶ。