2変数のベクトル関数(偏微分・全微分)

1 2変数ベクトル関数
2 偏微分
3 全微分
4 例題
5 例題の解答
6 練習問題
7 ひとこと

2変数ベクトル関数

次のようなベクトル関数を考えてみよう

$$\pmb{A}=\cos{u}\sin{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\cos{v}\ \color{green}{\pmb{k}}$$

あれ？変数２つないか？と思っただろうが、ベクトル関数の変数の種類数はなにも１つとは限らない。

今回は変数を2種類（ $u$、$v$ ）持ったベクトル関数を取り扱ってみよう。

このような2種類の変数を持つベクトル関数を 2変数ベクトル関数 と呼ぶ。

1変数のベクトル関数は曲線を意味するものだった。

曲線のベクトル表示・接線ベクトル曲線とその接線をベクトルを使って表現する方法を例を交えつつ解説します...

対して、2変数のベクトル関数が意味するものは曲面である。（文字通り曲がった面を描く位置ベクトル）

偏微分

2種類の変数（ $u$、$v$ ）を持つ関数において、片方の変数を定数と見立てて、もう一方の変数で微分する（あたかも1変数関数の微分をしているかのような計算をする）計算を 偏微分 と呼ぶ。

例えば、先ほどの2変数ベクトル関数

$$\pmb{A}=\cos{u}\sin{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\cos{v}\ \color{green}{\pmb{k}}$$

を 偏微分 してみよう。

まず $u$ について偏微分してみる。

$v$ を定数と見立てて $u$ について微分すると

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}&=&\left(-\sin{u}\right)\sin{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(\cos{u}\right)\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+0\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&-\sin{u}\sin{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\cos{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}\end{eqnarray}

となる。$u$ についてのパーツ「第一項の $\cos{u}$ 」「第二項の $\sin{u}$ 」は $u$ について微分されてそれぞれ「$-\sin{u}$」「$\cos{u}$」へと計算された一方、定数とみなした $v$ について「第一項の $\sin{v}$ 」「第二項の $\sin{v}$ 」「第三項の $\cos{v}$ 」は定数として計算されている。

微分の記号が今回は $\displaystyle\frac{d\pmb{A}}{du}$ とは書かずに、$\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}$ と書かれている。

なんか $d$ もどきな文字 $\partial$ が登場している。

この文字は「ラウンド」と読み、ただの微分ではなく「偏微分ですよー」とアピールする意味がある。

全微分

ベクトル関数には 偏微分 とは別に 全微分 と呼ばれる計算も存在する。

ベクトル関数 $\pmb{A}\left(u,v\right)$ の 全微分 は次の式で定義される。

$$d\pmb{A}=\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}du+\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial v}dv$$

また、ベクトル関数の各成分が2変数 $u$ と $v$ で表される、つまり $\pmb{A}\left(u,v\right)=x\left(u,v\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+y\left(u,v\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\left(u,v\right)\ \color{green}{\pmb{k}}$

と表される時の 全微分 は

$$d\pmb{A} =dx\ \color{red}{\pmb{i}}+dy\ \color{blue}{\pmb{j}}+dz\ \color{green}{\pmb{k}} $$

と表される。

全微分 の例題は次の項目で紹介する。

例題

次のベクトル関数の 全微分 を求めよ。

$$\pmb{A}\left(u,v\right)=u\ \color{red}{\pmb{i}}+v\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(u^{2}+v^{2}\right)\ \color{green}{\pmb{k}}$$

例題の解答

まずベクトル関数 $\pmb{A}\left(u,v\right)$ を $u$ について偏微分すると

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}&=&1\ \color{red}{\pmb{i}}+0\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(2u+0\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\ \color{red}{\pmb{i}}+2u\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

次にベクトル関数 $\pmb{A}\left(u,v\right)$ を $v$ について偏微分すると

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}&=&0\ \color{red}{\pmb{i}}+1\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(0+2v\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\ \color{blue}{\pmb{j}}+2v\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

以上をもって、全微分は

\begin{eqnarray}d\pmb{A}&=&\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}du+\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial v}dv\\\\&=&\left(\ \color{red}{\pmb{i}}+2u\ \color{green}{\pmb{k}}\right)du+\left(\ \color{blue}{\pmb{j}}+2v\ \color{green}{\pmb{k}}\right)dv\\\\&=&du\ \color{red}{\pmb{i}}+2u\ du\ \color{green}{\pmb{k}}+dv\ \color{blue}{\pmb{j}}+2vdv\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&du\ \color{red}{\pmb{i}}+dv\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(2u\ du+2v\ dv\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

$$d\pmb{A}=du\ \color{red}{\pmb{i}}+dv\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(2u\ du+2v\ dv\right)\ \color{green}{\pmb{k}}$$