2変数ベクトル関数
次のようなベクトル関数を考えてみよう
$$\pmb{A}=\cos{u}\sin{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\cos{v}\ \color{green}{\pmb{k}}$$
あれ?変数2つないか?と思っただろうが、ベクトル関数の変数の種類数はなにも1つとは限らない。
今回は変数を2種類( \(u\)、\(v\) )持ったベクトル関数を取り扱ってみよう。
このような2種類の変数を持つベクトル関数を 2変数ベクトル関数 と呼ぶ。
1変数のベクトル関数は 曲線 を意味するものだった。

対して、2変数のベクトル関数が意味するものは 曲面 である。(文字通り曲がった面を描く位置ベクトル)
偏微分
2種類の変数( \(u\)、\(v\) )を持つ関数において、片方の変数を定数と見立てて、もう一方の変数で微分する(あたかも1変数関数の微分をしているかのような計算をする)計算を 偏微分 と呼ぶ。
例えば、先ほどの2変数ベクトル関数
$$\pmb{A}=\cos{u}\sin{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\cos{v}\ \color{green}{\pmb{k}}$$
を 偏微分 してみよう。
まず \(u\) について偏微分してみる。
\(v\) を定数と見立てて \(u\) について微分すると
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}&=&\left(-\sin{u}\right)\sin{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(\cos{u}\right)\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+0\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&-\sin{u}\sin{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+\cos{u}\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}\end{eqnarray}
となる。\(u\) についてのパーツ 「第一項の \(\cos{u}\) 」「第二項の \(\sin{u}\) 」は \(u\) について微分されてそれぞれ「\(-\sin{u}\)」「\(\cos{u}\)」へと計算された一方、定数とみなした \(v\) について「第一項の \(\sin{v}\) 」「第二項の \(\sin{v}\) 」「第三項の \(\cos{v}\) 」は定数として計算されている。
微分の記号が今回は \(\displaystyle\frac{d\pmb{A}}{du}\) とは書かずに、\(\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}\) と書かれている。
なんか \(d\) もどきな文字 \(\partial\) が登場している。
この文字は「ラウンド」と読み、ただの微分ではなく「偏微分ですよー」とアピールする意味がある。
全微分
ベクトル関数には 偏微分 とは別に 全微分 と呼ばれる計算も存在する。
ベクトル関数 \(\pmb{A}\left(u,v\right)\) の 全微分 は次の式で定義される。
$$d\pmb{A}=\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}du+\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial v}dv$$
また、ベクトル関数の各成分が2変数 \(u\) と \(v\) で表される、つまり \(\pmb{A}\left(u,v\right)=x\left(u,v\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+y\left(u,v\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+z\left(u,v\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\)
と表される時の 全微分 は
$$d\pmb{A} =dx\ \color{red}{\pmb{i}}+dy\ \color{blue}{\pmb{j}}+dz\ \color{green}{\pmb{k}} $$
と表される。
全微分 の例題は次の項目で紹介する。
例題
次のベクトル関数の 全微分 を求めよ。
$$\pmb{A}\left(u,v\right)=u\ \color{red}{\pmb{i}}+v\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(u^{2}+v^{2}\right)\ \color{green}{\pmb{k}}$$
例題の解答
まずベクトル関数 \(\pmb{A}\left(u,v\right)\) を \(u\) について偏微分すると
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}&=&1\ \color{red}{\pmb{i}}+0\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(2u+0\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\ \color{red}{\pmb{i}}+2u\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}
次にベクトル関数 \(\pmb{A}\left(u,v\right)\) を \(v\) について偏微分すると
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}&=&0\ \color{red}{\pmb{i}}+1\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(0+2v\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&\ \color{blue}{\pmb{j}}+2v\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}
以上をもって、全微分は
\begin{eqnarray}d\pmb{A}&=&\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}du+\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial v}dv\\\\&=&\left(\ \color{red}{\pmb{i}}+2u\ \color{green}{\pmb{k}}\right)du+\left(\ \color{blue}{\pmb{j}}+2v\ \color{green}{\pmb{k}}\right)dv\\\\&=&du\ \color{red}{\pmb{i}}+2u\ du\ \color{green}{\pmb{k}}+dv\ \color{blue}{\pmb{j}}+2vdv\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&du\ \color{red}{\pmb{i}}+dv\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(2u\ du+2v\ dv\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}
$$d\pmb{A}=du\ \color{red}{\pmb{i}}+dv\ \color{blue}{\pmb{j}}+\left(2u\ du+2v\ dv\right)\ \color{green}{\pmb{k}}$$
練習問題
次のベクトル関数の 全微分 を求めよ。
$$\pmb{A}\left(u,v\right)=u\cos{v}\ \color{red}{\pmb{i}}+u\sin{v}\ \color{blue}{\pmb{j}}+v\ \color{green}{\pmb{k}}$$
ひとこと
・偏微分 とは 片方の文字を無視してもう一方の文字だけで微分すること
・全微分 は 偏微分計算の足し合わせで定義され次の式で表現される。
$$d\pmb{A}=\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial u}du+\displaystyle\frac{\partial\pmb{A}}{\partial v}dv$$