力学とベクトル関数（点運動）

1 質点の運動とベクトル関数
2 速度と加速度
3 例題
4 例題の解答
5 練習問題
6 ひとこと

質点の運動とベクトル関数

曲線のベクトル表示を応用すれば、物体運動の様子をベクトルで記述することができる。

例えば、次の らせん運動 するボールの位置ベクトルを時間 $t$ の関数として表現してみよう。

らせん曲線のベクトル表示 は下の記事より次のベクトル関数である。

曲線のベクトル表示・接線ベクトル曲線とその接線をベクトルを使って表現する方法を例を交えつつ解説します...

$$\pmb{r}\left(t\right)=\cos{t}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{t}\ \color{blue}{\pmb{j}}+t\ \color{green}{\pmb{k}}$$

このように 曲線のベクトル表示 は 「$y=\bigcirc\bigcirc$」 と比較して、曲線の上を動く物体の軌跡を記述することができる点で有利である。

「$y=\bigcirc\bigcirc$」 では、曲線全体の表現をできても曲線を辿る物体の動きを表現することは困難である。

物体の運動の軌跡を表す位置ベクトル $\pmb{r}\left(t\right)$ を動径と呼ぶ。

速度と加速度

物体が運動する速度は動径を変数（時間）$t$ で微分することで求まる。

物体が運動する 加速度 は速度を変数（時間）$t$ で微分することで求まる。

すなわち、速度 $\pmb{v}$ と 加速度 $\pmb{a}$ は動径 $\pmb{r}$ を用いて

$$\pmb{v}=\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}$$

$$\pmb{a}=\displaystyle\frac{d\pmb{v}}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}=\displaystyle\frac{d^{2}\pmb{r}}{dt^{2}}$$

と表される。

例えば、先ほどの らせん運動 するボールの速度は

動径「$\pmb{r}=\cos{t}\ \color{red}{\pmb{i}}+\sin{t}\ \color{blue}{\pmb{j}}+t\ \color{green}{\pmb{k}}$ 」を $t$ で微分して求まる。

\begin{eqnarray}\pmb{v}&=&\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}\\\\&=&\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\cos{t}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\sin{t}\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{d}{dt}\left(t\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&-\sin{t}\ \color{red}{\pmb{i}}+\cos{t}\ \color{blue}{\pmb{j}}+\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

続けて 加速度 は速度を $t$ で微分することで求まる。

\begin{eqnarray}\pmb{a}&=&\displaystyle\frac{d\pmb{v}}{dt}\\\\&=&\displaystyle\frac{d}{dt}\left(-\sin{t}\right)\ \color{red}{\pmb{i}}+\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\cos{t}\right)\ \color{blue}{\pmb{j}}+\displaystyle\frac{d}{dt}\left(1\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\\\\&=&-\cos{t}\ \color{red}{\pmb{i}}-\sin{t}\ \color{blue}{\pmb{j}}\end{eqnarray}

例題

質量 $m$ のボールを水平面から角度 $\theta$ の方向へ初速度 $\pmb{v_{0}}$ で投げ出したときの、ボールの運動の軌跡 $\pmb{r}\left(t\right)$ を求めよ。また、ボールが地面に着地するまでに進んだ距離を求めよ。

例題の解答

運動方程式

$$\pmb{F}=m\pmb{a}$$

を使って解いていく。（この $\pmb{F}$ と $\pmb{a}$ はベクトルであることに注意！）

投げ出されたボールに働いている力は $z$ 軸マイナス方向（$-\color{green}{\pmb{k}}$ 方向）に働いている重力 $mg$ のみであるので

$$\pmb{F}=-mg\ \color{green}{\pmb{k}}$$

運動方程式 $\pmb{F}=m\pmb{a}$ と右辺を比較して

$$\pmb{a}\left(t\right)=-g\ \color{green}{\pmb{k}}$$

$\pmb{a}=\displaystyle\frac{d\pmb{v}}{dt}$ であるので

$$\displaystyle\frac{d\pmb{v}}{dt}=-g\ \color{green}{\pmb{k}}$$

この式を変数分離して速度を求めると

$$d\pmb{v}=-g\ \color{green}{\pmb{k}}\ dt$$

$$\int\ d\pmb{v}=\int -g\ \color{green}{\pmb{k}}\ dt$$

$$\pmb{v}\left(t\right)=-gt\ \color{green}{\pmb{k}}+C\ $$（ $C$ は積分定数）

初速度が $\pmb{v_{o}}$ であるので、$\pmb{v}\left(0\right)=\pmb{v_{o}}$ となる。

$t=0$ を $\pmb{v}$ に代入すると

$$\pmb{v}\left(0\right)=C$$

であることから、

$$\pmb{v_{o}}=C$$

が導かれる。よって先ほどの速度は書き直されて

$$\pmb{v}\left(t\right)=-gt\ \color{green}{\pmb{k}}+\pmb{v_{o}}$$

一方、動径（運動の軌跡） $\pmb{r}$ について、$\pmb{v}=\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}$ であるので

$$\displaystyle\frac{d\pmb{r}}{dt}=-gt\ \color{green}{\pmb{k}}+\pmb{v_{o}}$$

先ほどと同様に変数分離して動径を求めると

$$d\pmb{r}=\left(-gt\ \color{green}{\pmb{k}}+\pmb{v_{o}}\right)dt$$

$$\int d\pmb{r}=\int\left(-gt\ \color{green}{\pmb{k}}+\pmb{v_{o}}\right)dt$$

$$\pmb{r}\left(t\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}gt^{2}\ \color{green}{\pmb{k}}+\pmb{v_{o}}t+C’$$（ $C’$ は積分定数）

$t=0$ のとき、ボールは原点にあるので $\pmb{r}\left(0\right)=\pmb{0}$ である。

$t=0$ を先ほどの動径 $\pmb{r}$ の式に代入すると

$$\pmb{r}\left(0\right)=C’$$

であるから

$$C’=\pmb{0}$$

が導かれる。よって先ほどの動径の式は書き直されて、求める運動の軌跡は

$$\pmb{r}\left(t\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}gt^{2}\ \color{green}{\pmb{k}}+\pmb{v_{o}}t$$

と求まる。

ここで、初速度ベクトル $\pmb{v_{o}}$ を基本ベクトル $\color{red}{\pmb{i}}$ 、$\color{blue}{\pmb{j}}$ 、 $\color{green}{\pmb{k}}$ を使って表してみよう。

初速度 $\pmb{v_{o}}$ は次の図のように水平面と角度 $\theta$ をなすので

$$\pmb{v_{o}}=\left|\pmb{v_{o}}\right|\cos{\theta}\ \color{red}{\pmb{i}}+\left|\pmb{v_{o}}\right|\sin{\theta}\ \color{green}{\pmb{k}}$$

と表される。

先ほど求めた運動の軌跡の式に代入してあげると

\begin{eqnarray}\pmb{r}\left(t\right)&=&-\displaystyle\frac{1}{2}gt^{2}\ \color{green}{\pmb{k}}+\pmb{v_{o}}t\\\\&=&-\displaystyle\frac{1}{2}gt^{2}\ \color{green}{\pmb{k}}+\left(\left|\pmb{v_{o}}\right|\cos{\theta}\ \color{red}{\pmb{i}}+\left|\pmb{v_{o}}\right|\sin{\theta}\ \color{green}{\pmb{k}}\right)t\\\\&=&\left|\pmb{v_{o}}\right|t\cos{\theta}\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(\left|\pmb{v_{o}}\right|t\sin{\theta}-\displaystyle\frac{1}{2}gt^{2}\right)\ \color{green}{\pmb{k}}\end{eqnarray}

となり、求める動径は次のようになる。

$$\pmb{r}\left(t\right)=\left|\pmb{v_{o}}\right|t\cos{\theta}\ \color{red}{\pmb{i}}+\left(\left|\pmb{v_{o}}\right|t\sin{\theta}-\displaystyle\frac{1}{2}gt^{2}\right)\ \color{green}{\pmb{k}}$$

お次に水平到達距離を求めよう。

ボールが地面に落ちる時刻を $t_{0}$ とすると、このときボールの位置は $z=0$ の位置である。

つまり、時刻 $t_{0}$ にて先ほど求めた動径 $\pmb{r}\left(t\right)$ の $z$ 方向成分（$\color{green}{\pmb{k}}$ 成分）は $0$ となるはずである。

よって

$$\left|\pmb{v_{o}}\right|t_{0}\sin{\theta}-\displaystyle\frac{1}{2}gt_{0}^{2}=0$$

$$\left(\left|\pmb{v_{o}}\right|\sin{\theta}-\displaystyle\frac{1}{2}gt_{0}\right)t_{0}=0\cdot\cdot\cdot\left(A\right)$$

となる。ボール着地時刻 $t_{0}$ は少なくとも $0$ ではないので

$$t_{0}\neq0$$

である。従って、先ほどの式 $\left(A\right)$ は $t_{0}$ で割って

$$\left|\pmb{v_{o}}\right|\sin{\theta}-\displaystyle\frac{1}{2}gt_{0}=0$$

$$\displaystyle\frac{1}{2}gt_{0}=\left|\pmb{v_{o}}\right|\sin{\theta}$$

$$t_{0}=\displaystyle\frac{2\left|\pmb{v_{o}}\right|\sin{\theta}}{g}$$

となる。これをもって、ボール着地時刻を求めることができた。

動径は原点からボールまでの距離を意味するので

ボールの進んだ距離は求めた動径の式に $t=t_{0}$ を代入することで求まる。

従って、求めるボールの進んだ距離 $L$ は

\begin{eqnarray}L&=&\left|\pmb{r}\left(t_{0}\right)\right|\\\\&=&\left|\left|\pmb{v_{o}}\right|\cdot\displaystyle\frac{2\left|\pmb{v_{o}}\right|\sin{\theta}}{g}\cdot\cos{\theta}\ \color{red}{\pmb{i}}+\left[\left|\pmb{v_{o}}\right|\cdot\displaystyle\frac{2\left|\pmb{v_{o}}\right|\sin{\theta}}{g}\cdot\sin{\theta}-\displaystyle\frac{1}{2}g\cdot\left(\displaystyle\frac{2\left|\pmb{v_{o}}\right|\sin{\theta}}{g}\right)^{2}\right]\ \color{green}{\pmb{k}}\right|\\\\&=&\left|\displaystyle\frac{2\left|\pmb{v_{o}}\right|^{2}\sin{\theta}}{g}\cdot\cos{\theta}\ \color{red}{\pmb{i}}+0\ \ \color{green}{\pmb{k}}\right|\\\\&=&\displaystyle\frac{2\left|\pmb{v_{o}}\right|^{2}\sin{\theta}}{g}\cdot\cos{\theta}\end{eqnarray}

$$\displaystyle\frac{2\left|\pmb{v_{o}}\right|^{2}\sin{\theta}}{g}\cdot\cos{\theta}$$